RE: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá Vitor,

	O cálculo da medida do lado AB é muito simples e direto, bastando
utilizar uma única vez o teorema de Stewart. A fim de tornar a questão um
pouco mais interessante, eu modifiquei o enunciado para pedir as medidas dos
outros três lados do quadrilátero, ou seja, AB, CD e DA e não somente AB.


QUESTÃO COM O ENUNCIADO EXTENDIDO:

As diagonais AC e BD de um quadrilátero ADCB se encontram em E. Se AE = 2,
BE = 5, CE = 10, DE = 4 e BC = 15/2, calcule os outros três lados do
quadrilátero: AB, CD e DA.


OBSERVAÇÃO:

Eu utilizarei o Teorema de Stewart, algumas vezes denominado Teorema de
Apollonius, para resolver esta questão. Segue um enunciado possível para o
Teorema de Stewart.


TEOREMA DE STEWART:

Seja ABC um triângulo qualquer e P um ponto interno do lado BC (AP é uma
ceviana interna relativa ao lado BC), então vale a seguinte relação:

AB^2/(BP.BC) + AC^2/(CP.CB) - AP^2/(PB.PC) = 1

(O Teorema de Stewart pode ser facilmente demonstrado pela aplicação da lei
dos co-senos nos triângulos APB e APC.)



RESOLUÇÃO POSSÍVEL DA QUESTÃO COM O ENUNCIADO EXTENDIDO:

No triângulo BAC, E é um ponto interno do lado AC, então:
BA^2/(AE.AC) + BC^2/(CE.CA) - BE^2/(EA.EC) = 1
BA^2/(2.12) + (15/2)^2/(10.12) - 5^2/(2.10) = 1
BA^2/24 + 15/32 - 5/4 = 1
BA^2/24 = 57/32
BA^2 = (9.19)/4
BA = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUESTÃO ORIGINAL)

No triângulo ADB, E é um ponto interno do lado DB, então:
AD^2/(DE.DB) + AB^2/(BE.BD) - AE^2/(ED.EB) = 1
AD^2/(4.9) + [3.sqr(19)/2]^2/(5.9) - 2^2/(4.5) = 1
AD^2/36 + 19/20 - 1/5 = 1
AD^2/36 = 1/4
AD^2 = 9
AD = 3

Os triângulos AEB e DEC são semelhantes pelo critério LAL, pois:
<AEB = <DEC (ângulos opostos pelo vértice)
AE/DE = 2/4 = 1/2
EB/EC = 5/10 = 1/2
Pela propriedade transitiva da igualdade: AE/DE = EB/EC
Da semelhança podemos concluir que:
BA/CD = 1/2 = AE/DE = EB/EC
CD = 2.BA => CD = 2.[3.sqr(19)/2] => CD = 3.sqr(19)

RESPOSTA DA QUESTÃO EXTENDIDA:

AB = 3.sqr(19)/2 (RESPOSTA DA QUESTÃO ORIGINAL), CD = 3.sqr(19) e AD = 3.


Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Vitor Dias
Sent: domingo, 6 de junho de 2004 01:23
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] OBM 2004 - Nivel 3

Fiz a prova...achei bem legal, e muito bem elaborada! foi um otimo
treinamento,
jah q vou prestar concurso para o CN e para EPCAr...(alem do que sou um
eterno apaixonado pela matematica hehe)
bem, vou deixar uma questao legal de geometria plana, tirada do livro
Challenging
Problems in Geometry, de Alfred S. Posamentier e Charles T. Salkind:

As diagonais AC e BD de um quadrilatero ADCB se encontram em E. Se AE=2,
BE=5, CE=10, DE=4 e BC=15/2, calcule AB.

Divirtam-se!!!


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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