Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

Recapitulando:
O problema eh estender F, de classe C^1 em [a,b] uniao [c,d] (a < b < c < d) a uma funcao G, de classe C^1 em [a,d] tal que G'(x) > 0 para todo x em [a,b].

Isso soh serah possivel se F(b) < F(c) e se F'(x) > 0 em [a,b] uniao [c,d]. 
Em particular, precisamos ter F'(b) > 0 e F'(c) > 0.

A fim de completar uma extensao de classe C^1 de F em [a,d] uma funcao P:[b,c] -> R precisa satisfazer as condicoes:
1) P(b) = F(b)  e  P(c) = F(c) > F(b)
2) P'(b) = F'(b) > 0  e  P'(c) = F'(c) > 0.
3) P'(x1) > 0 se x1 for ponto de minimo de P'(x)

Se P(x) = mx^4 + nx^3 + px^2 + qx + r, entao, a fim de satisfazer (1) e (2), devemos escolher m, n, p, q, r de modo a satisfazer o sistema:
  b^4*m +  b^3*n   + b^2*p + b*q + r = F(b)
  c^4*m  +  c^3*n   + c^2*p + c*q  + r  = F(c)
4b^3*m + 3b^2*n  +   2b*p  +    q        = F'(b)
4c^3*m + 3c^2*n   +   2c*p  +    q        = F'(c)

Esse sistema ainda nos deixa uma variavel livre, cujo valor podemos escolher de modo a fazer com que P'(x1) > 0 num eventual ponto de minimo x1 de P'(x) em [b,c].

[]s,
Claudio.

on 03.06.04 21:54, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:

> Mas ainda assim ficariam faltando 2 variaveis livres para garantir que p'(b) > 0 e  p'(c) > 0.
>  
> Abs.
>
>
> Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
> > Na verdade nao, pois mesmo que p''(x) tenha duas raizes em [b,c], no maximo uma delas corresponderah a um ponto de minimo de p'(x) (lembre-se, p'(x) eh uma funcao polinomial de grau 3, a qual tem no maximo um ponto de minimo local) e eh apenas com esse que devemos nos preocupar. Se o ponto de minimo de p'(x) for x1, basta garantir que p'(x1) > 0 que estaremos OK.
> >
> > []s,
> > Claudio.