Chame essa variável livre do sistema de m. Os coeficientes do polinômio p´(x) são funções de m. Suponha por exemplo que p’(x) = (3-m)x^3 + (2 +m) x^2 + (3 –m)x +7 +m. Se p´(x) admite um mínimo x1 em [b , c ] ( admitindo que x1 é diferente de b e c ) então devemos ter p”(x1) = 0 . Calculando o valor de x1 em função de m e substituindo na condição p’(x1) >0 obtemos uma inequação polinomial de grau 7 cuja solução só é possível por métodos numéricos . Alem disso essa inequação pode não ter solução para x em [b , c].
Abs.
Recapitulando:
O problema eh estender F, de classe C^1 em [a,b] uniao [c,d] (a < b < c < d) a uma funcao G, de classe C^1 em [a,d] tal que G'(x) > 0 para todo x em [a,b].
Isso soh serah possivel se F(b) < F(c) e se F'(x) > 0 em [a,b] uniao [c,d].
Em particular, precisamos ter F'(b) > 0 e F'(c) > 0.
A fim de completar uma extensao de classe C^1 de F em [a,d] uma funcao P:[b,c] -> R precisa satisfazer as condicoes:
1) P(b) = F(b) e P(c) = F(c) > F(b)
2) P'(b) = F'(b) > 0 e P'(c) = F'(c) > 0.
3) P'(x1) > 0 se x1 for ponto de minimo de P'(x)
Se P(x) = mx^4 + nx^3 + px^2 + qx + r, entao, a fim de satisfazer (1) e (2), devemos escolher m, n, p, q, r de modo a satisfazer o sistema:
b^4*m + b^3*n + b^2*p + b*q + r = F(b)
c^4*m + c^3*n + c^2*p + c*q + r = F(c)
4b^3*m + 3b^2*n + 2b*p + q = F'(b)
4c^3*m + 3c^2*n + 2c*p + q = F'(c)
Esse sistema ainda nos deixa uma variavel livre, cujo valor podemos escolher de modo a fazer com que P'(x1) > 0 num eventual ponto de minimo x1 de P'(x) em [b,c].
[]s,
Claudio.
on 03.06.04 21:54, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:
Mas ainda assim ficariam faltando 2 variaveis livres para garantir que p'(b) > 0 e p'(c) > 0.
Abs.
Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
Na verdade nao, pois mesmo que p''(x) tenha duas raizes em [b,c], no maximo uma delas corresponderah a um ponto de minimo de p'(x) (lembre-se, p'(x) eh uma funcao polinomial de grau 3, a qual tem no maximo um ponto de minimo local) e eh apenas com esse que devemos nos preocupar. Se o ponto de minimo de p'(x) for x1, basta garantir que p'(x1) > 0 que estaremos OK.
[]s,
Claudio.