[obm-l] Problemas em Aberto

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Aqui vai outra solucao (longa) ...
Eu ainda gostaria de ver uma solucao grega pra esse problema.
 
> 2. Três lados consecutivos de um quadrilátero convexo são a, b e c.
> Determine o quadrilátero de área máxima .

Seja ABCD o quadrilatero, de forma que:
AB = a, BC = b, CD = c.  Ponhamos AC = x.

Entao, 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*x*sen(ACD)

Lei dos Cossenos ==> x = raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC)).

Assim: 
2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC))*sen(ACD).
Ou seja, temos duas variaveis independentes para escolher: ABC e ACD.

Eh facil ver que 2*[ABCD] maximo ==>
sen(ACD) maximo ==>
sen(ACD) = 1 ==> 
ACD = Pi/2 ==>

2*[ABCD]max = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC))

Pondo cos(ABC) = t, teremos sen(ABC) = raiz(1 - t^2) >= 0,
pois 0 <= ABC <= Pi.

Se F(t) = 2*[ABCD], entao:
F(t) = a*b*raiz(1 - t^2) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)

Naturalmente, F(t) serah maximo para t em [-1,0].

Para achar os pontos criticos de F, temos que calcular F'(t):

F'(t) = -a*b*t/raiz(1 - t^2) - a*b*c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)

F'(0) = -a*b*c/raiz(a^2+b^2) < 0
F'(t) -> +infinito quando t -> -1 pela direita.
Logo, t = 0 e t = -1 nao sao pontos de maximo.

Assim, o ponto de maximo estarah no intervalo (-1,0)
 
F'(t) = 0 ==>
t/raiz(1 - t^2) = - c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) ==>
t^2/(1 - t^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)  e  -1 < t < 0  (*)

Como o triangulo ACD eh retangulo em C, teremos que cos(ADC) = CD/AD.
Pondo cos(ADC) = s > 0 (pois ADC < Pi/2), teremos:
s = c/raiz(c^2+x^2) = c/raiz(a^2 + b^2 + c^2 - 2*a*b*t) ==>
s^2 = c^2/(a^2 + b^2 + c^2 - 2*a*b*t) ==>
s^2/(1 - s^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)  (**)

(*) e (**) ==> 
t^2/(1 - t^2) = s^2/(1 - s^2) ==>
t^2 = s^2 ==>
t = -s, pois t < 0 e s > 0 ==>
cos(ABC) = -cos(ADC) ==>
ABC = Pi - ADC ==>
ABCD eh ciclico

Alem disso, como o triangulo ACD eh retangulo, AD serah o diametro do
circulo circunscrito a ABCD.

Interessante observar que para obtermos o valor de t = cos(ABC),
precisaremos resolver uma equacao do 3o. grau:
2*a*b*t^3 - (a^2 + b^2 + c^2)*t^2 + c^2 = 0
(t serah a raiz negativa dessa equacao)


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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