Re: [obm-l] Problemas em Aberto

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 01.06.04 16:11, Qwert Smith at lord_qwert@hotmail.com wrote:

>>>> 2. Três lados consecutivos de um quadrilátero convexo são a, b e c.
>>>> Determine o quadrilátero de área máxima .
> 
> As vezes da vontade de voltar no tempo e prestar atencao no que e dito
> em sala de aula.  Eu tenho uma suspeita pra essa questao, mas nao sei
> nem por onde comecar, entao vou so dar uma de maluco e
> mandar assim: a area maxima e A= (a+c)/2*b.
> 
Isso eh consequencia do teorema de Chutagoras... Voce tambem podia ter usado
o metodo das acoxambracoes sucessivas.

> Eu tava pensando que se vc tem um triangulo tipo LAL (lado-angulo-lado)
> nao deve ser dificil provar que a area desse triangulo e maxima quando A =
> pi/2.
> 
Area = (1/2)*a*b*sen(C).
Se a e b sao fixos, entao:
A serah maxima <==> sen(C) = 1 <==> C = Pi/2.

> Se eu soubesse alguma coisa de matematica eu apartir dai ia tentar provar
> que
> a area e maxima quando o maior numero de angulos internos e pi/2.
>
Eu pensei nisso tambem, mas veja o que aconteceu:

Seja ABCD o quadrilatero, de forma que:
AB = a, BC = b, CD = c.  Ponha AC = x.

Entao, 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*x*sen(ACD)

Lei dos Cossenos ==> x = raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC)).

Assim: 
2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC))*sen(ACD).
Ou seja, temos duas variaveis independentes para escolher: ABC e ACD.

Eh facil ver que 2*[ABCD] maximo ==>
sen(ACD) maximo ==>
sen(ACD) = 1 ==> 
ACD = Pi/2 ==>

2*[ABCD]max = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(ABC))

Pondo cos(ABC) = t, teremos sen(ABC) = raiz(1 - t^2) >= 0,
pois 0 <= ABC <= Pi.

Se F(t) = 2*[ABCD], entao:
F(t) = a*b*raiz(1 - t^2) + c*raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)

Nesse ponto, nao eh obvio que devemos ter ABC = Pi/2 (t = 0), pois se Pi/2 <
ABC < Pi, t = cos(ABC) serah negativo, o que aumentarah ainda mais o
radicando, apesar de reduzir a primeira parcela.
De qualquer forma, F(t) serah maximo para t no intervalo [-1,0] (eh soh
olhar e ver).

Se t = -1, entao ABC = 0 e o quadrilatero de area maxima degenera no
triangulo ACD, cuja area eh igual a (1/2)*(a+b)*c.

Se t = 0,entao [ABCD] = (1/2)*(a*b + c*|a-b|).

Para achar os pontos criticos de F, temos que derivar e igualar a zero:

F'(t) = -a*b*t/raiz(1 - t^2) - a*b*c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)

F'(t) = 0 ==>
t/raiz(1 - t^2) = - c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) ==>
t^2/(1 - t^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)  e  t < 0 ==>
t = raiz negativa de  2*a*b*t^3 - (a^2 + b^2 + c^2)*t^2 + c^2 = 0

E ai, meu caro, vai depender dos valores de a, b, c...

(incluir receita de torta de chocolate nesse ponto)
 
> Dai ia concluir a//c e chegava na area que escrevi no comeco.
> 
> Como nao sei nada escrevo essa ideia maluca porque pode ou dar um estalo em
> quem entende do assunto ou pelo menos fazer rir
> 
Epa! Essa eh a minha area. Nao sei se essa lista tem espaco para dois
palhacos...


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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