[obm-l] Problemas em aberto

["Eric" <mathfire@xxxxxxxxx>]

2. Tres lados consecutivos de um quadrilatero convexo sao a, b e c.
Determine o quadrilatero de area maxima.

Suponha que exista tal quadrilatero.

Considere a linha poligonal ABCD
(com a = AB, b = BC, c = CD)
inscrita num circulo de modo que a
area do quadrilatero ABCD seja maxima.

Suponha por absurdo que 
ABD > Pi/2 (angulo ABD > Pi/2)

Seja A' tal que BA' = BA com A'BD < ABD  
|ABD - A'BD| infinitesimal. Neste caso podemos
dizer que a reta AA' eh perpendicular a AB.

Seja du > 0 o infinitesimo tal que du = m(AA').
Quando trocamos A por A' a area ganha A_g eh
a area do triangulo DAA' e a area perdida A_p 
eh a area do triangulo BAA'. Assim, dS = A_g - A_p.
Mas A_p = (a/2)du ja que AA' eh perpendicular a
AB (infinitesimalmente falando) e A_g = (h/2)du,
onde h = m(DP) sendo P a projecao de D sobre AA'.

Como ABDP eh um trapezio com os angulos
BAP = APD = Pi/2 e como ABD > Pi/2 entao
PD > AB, isto eh, h > a. Entao:

dS = A_g - A_p = (h/2)du - (a/2)du =
= (du/2)(h-a) > 0, isto eh dS > 0 (houve
ganho de area), logo ha quadrilateros de
area maior (ABSURDO).

Logo ABD =< Pi/2.

De modo analogo prova-se que ABD >= Pi/2.

Portanto ABD = Pi/2. Por simetria ACD = Pi/2.

Logo o quadrilatero procurado eh inscritivel e seu
quarto lado eh o diamentro do circulo circunscrito.

[ ]'s

Eric.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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