Re:[obm-l] Problemas em Aberto

["Osvaldo" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

eu queria ver como a larissa lima iria resolver esse, 
ela sempre tem uma carta escondida na manga.


> Aqui vai outra solucao (longa) ...
> Eu ainda gostaria de ver uma solucao grega pra esse 
problema.
>  
> > 2. Três lados consecutivos de um quadrilátero 
convexo são a, b e c.
> > Determine o quadrilátero de área máxima .
> 
> Seja ABCD o quadrilatero, de forma que:
> AB = a, BC = b, CD = c.  Ponhamos AC = x.
> 
> Entao, 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*x*sen(ACD)
> 
> Lei dos Cossenos ==> x = raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*cos
(ABC)).
> 
> Assim: 
> 2*[ABCD] = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 
2*a*b*cos(ABC))*sen(ACD).
> Ou seja, temos duas variaveis independentes para 
escolher: ABC e ACD.
> 
> Eh facil ver que 2*[ABCD] maximo ==>
> sen(ACD) maximo ==>
> sen(ACD) = 1 ==> 
> ACD = Pi/2 ==>
> 
> 2*[ABCD]max = a*b*sen(ABC) + c*raiz(a^2 + b^2 - 
2*a*b*cos(ABC))
> 
> Pondo cos(ABC) = t, teremos sen(ABC) = raiz(1 - t^2) 
>= 0,
> pois 0 <= ABC <= Pi.
> 
> Se F(t) = 2*[ABCD], entao:
> F(t) = a*b*raiz(1 - t^2) + c*raiz(a^2 + b^2 - 
2*a*b*t)
> 
> Naturalmente, F(t) serah maximo para t em [-1,0].
> 
> Para achar os pontos criticos de F, temos que 
calcular F'(t):
> 
> F'(t) = -a*b*t/raiz(1 - t^2) - a*b*c/raiz(a^2 + b^2 -
 2*a*b*t)
> 
> F'(0) = -a*b*c/raiz(a^2+b^2) < 0
> F'(t) -> +infinito quando t -> -1 pela direita.
> Logo, t = 0 e t = -1 nao sao pontos de maximo.
> 
> Assim, o ponto de maximo estarah no intervalo (-1,0)
>  
> F'(t) = 0 ==>
> t/raiz(1 - t^2) = - c/raiz(a^2 + b^2 - 2*a*b*t) ==>
> t^2/(1 - t^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)  e  -1 < t 
< 0  (*)
> 
> Como o triangulo ACD eh retangulo em C, teremos que 
cos(ADC) = CD/AD.
> Pondo cos(ADC) = s > 0 (pois ADC < Pi/2), teremos:
> s = c/raiz(c^2+x^2) = c/raiz(a^2 + b^2 + c^2 - 
2*a*b*t) ==>
> s^2 = c^2/(a^2 + b^2 + c^2 - 2*a*b*t) ==>
> s^2/(1 - s^2) = c^2/(a^2 + b^2 - 2*a*b*t)  (**)
> 
> (*) e (**) ==> 
> t^2/(1 - t^2) = s^2/(1 - s^2) ==>
> t^2 = s^2 ==>
> t = -s, pois t < 0 e s > 0 ==>
> cos(ABC) = -cos(ADC) ==>
> ABC = Pi - ADC ==>
> ABCD eh ciclico
> 
> Alem disso, como o triangulo ACD eh retangulo, AD 
serah o diametro do
> circulo circunscrito a ABCD.
> 
> Interessante observar que para obtermos o valor de t 
= cos(ABC),
> precisaremos resolver uma equacao do 3o. grau:
> 2*a*b*t^3 - (a^2 + b^2 + c^2)*t^2 + c^2 = 0
> (t serah a raiz negativa dessa equacao)
> 
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e 
usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
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> 

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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