Re: [obm-l] Nao-Polinomios

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 02.06.04 02:46, Osvaldo at 1osv1@bol.com.br wrote:

> Olá Cláudio!
> 
> 
> g(x) = x^2*|x| não esta def. em 0, pois g(0)=0^0, uma
> indeterminaçao, logo essa funçao nao tem raiz nesse
> int. e o dominio deve ser restringido.
> 
g(x) eh igual a (x ao quadrado) vezes (modulo de x).
Tambem pode-se escrever g(x) = |x^3|.

> 
> Ah, continuando minha resoluçao, corrigindo que a
> funçao f é impar...
> 
> assim f(x)=-f(-x)
> se f(x)=p(x), onde p(x) é um polinomio pertencente a P_n
> teremos que p(x)=-p(-x)=> acho que vão cancelar se
> todos os termos de grau ímpar. e os de grau par vao dar
> O.
Mais precisamente, como p(-x) = -p(x), p(x) soh terah monomios de grau
impar. Em particular, grau(p(x)) serah impar.
> 
> Se n é par, de imediato temos que o polinomio tem grau
> n-1 pois a_n=0 o que é uma contradiçao, pois admitimos
> que p(x) tinha grau n.
> 
Jah foi deduzido acima que grau(p(x)) eh impar.

> Se n=2k+1 é ímpar:
> 
> Observe que f(0)=P(0)=0 => o termo independende de P é
> nulo.
> Alem disso, P(1)=f(1)=>
> P(1)=a_1+a_3+...+a_(2k+1)=1
> 
Isso tambem jah se sabia.

> Alguem tem alguma sugestao ai a partir daqui?
>
Bem. Como p(0) = 0, p(1/2) = 1/4 e p(1) = 1, grau(p(x)) nao pode ser 1.
Logo, soh pode ser grau(p(x)) >= 3.
  
Como p(0) = 0, podemos escrever:
p(x) = x*(a_1 + a_3*x^2 + a_5*x^4 + ... + a_(2n+1)*x^(2n)) = x*|x|.
Ou seja, para x <> 0, teremos:
|x| = a_1 + a_3*x^2 + a_5*x^4 + ... + a_(2n+1)*x^(2n),
onde n >= 1 e a_(2n+1) <> 0.

Agora, tome x = 1/(n+2), 2/(n+2), ..., (n+1)/(n+2), sucessivamente.
Estes n+1 valores de x determinam de modo unico os (n+1) coeficientes a_1,
a_3, ..., a_(2n+1).
Finalmente, verifique se 1 = |1| = a_1 + a_3 + ... + a_(2n+1).

Nao fiz as contas, mas imagino que voce consiga chegar numa contradicao.

Em suma: acho melhor usar derivadas, como fez o Artur.

[]s,
Claudio.


>>> Prove que f :[-1,1] -> R dada por:
>>> f(x) = x*|x|  nao é funcao polinomial.
>>> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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