RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Sem derivadas, acho que podemos fazer o seguinte: se cos for uma funcao
polinomial P de grau n, entao P tem um numero finito <=n de raizes em [a,b].
Para todo real a, temos entao que cos(a*x) eh tambem um polinomio de grau n
e, desta forma, tem em [a,b] um numero finito, tambem <=n de raizes. Mas
fazendo-se a suficientemente grande podemos fazer com que cos(a*x) tenha em
{a,b] quantos raizes se desejem. Desta contradicao, vemos que cos nao pode
ser polinomial em nenhum intervalo [a,b], com a<b.
Artur

w
--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "'obm-l@mat.puc-rio.br'" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: RE: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)
Data: 01/06/04 14:51

Olha, sem derivadas, eu pensei em usar séries de Fourrier... e provar que o
grau do poliômio seria infinito.

-----Original Message-----
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[mailto:peterdirichlet2002@yahoo.com.br]
Sent: Tuesday, June 01, 2004 1:57 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)


Simples: as derivadas de cos nunca sao identicamente nulas num intrvalo
aberto de IR, ao contrario das derivadas de ordem grande o bastante de um
polinomio.

Mas essa e uma soluçao que se usa de derivadas. Sera que nao tem algo menos
apelador?

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

Uma versao um pouco mais dificil:

Sejam a e b numeros reais com a < b.
Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)
nao eh uma funcao polinomial.

Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se aplica...

[]s,
Claudio.

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