Re: [obm-l] Convergencia

["Fernando Villar" <f_villar@xxxxxxxxxxxx>]

Cláudio,

Eu escrevi minha idéia para mostrar a contradição.


> on 30.05.04 21:40, Fernando Villar at f_villar@terra.com.br wrote:
>
> > Olá Márcio,
> >
> > Acho que esta é uma solução possível:
> >
> > Considere os conjuntos
> > A_i={coordenadas de x_i}
> > M_i=Max A_i
> > m_i=min A_i
> > E os intervalos fechados
> > J_i=[m_i,M_i]
> >
> > É claro que A_i está contido em J_i para todo i.
> > E temos a seqüência de intervalos fechados "encaixantes":
> > J_0 contém J_1 contém ...
> > Cuja interseção sabemos que é não vazia.
> > Suponha que a interseção de todos os {J_i}s seja um intervalo
> > [a,b]. Pela construção chegamos a um absurdo se considerarmos a<b.
>
> Oi, Fernando:
> Tah tudo perfeito ateh aqui, mas nao ficou claro porque supor que a < b
> resulta em contradicao (veja bem, acho ateh que isso eh verdade, mas
tambem
> acho que precisa duma explicacao mais detalhada).
>
> []s,
> Claudio.

Olá Cláudio,

Eu havia pensado no seguinte argumento:
Suponha que a<b

Como [a,b] está contido em J_i para todo i temos que m_i =< a < b=<M_i para
todo i.
teremos
m_0=<m_1=<...=<m_i=<... a < b=<...=<M_i =<...=<M_1=<M_0
e a = sup {m_i} e b = inf {M_i}

Seja E=(b-a)>0.
existem índices k,j tais que:
a-E/4=<m_k=< a
b =< m_j =<b+E/4
Sem perda de generalidade podemos supor j<k:
Existe uma quantidade finita,digamos no máximo p, de  coordenadas de x_k que
pertencem
aos intervalos [m_k,a] ou [b,M_k].

Por construção duas das coordenadas do vetor x_(k+1) são dadas por
w =m_k +[(M_k-m_k)/2]  = M_k - [(M_k-m_k)/2]
note que
E=< (M_k-m_k)=< 3E/2

donde

a-E/4=<m_k+E/2=< w =< m_k+3E/4

e

M_k-3E/4=< w =< M_k -E/2=<b+E/4

Por outro lado
a-E/4=<m_k   implica que a+E/4=< m_k+E/2
donde a<w
e
M_k =<b+E/4  implica que M_k -E/2=<b-E/4
donde w<b

Assim a<w<b (**)

e consequentemente x_(k+1) tem no máximo p-2, de  que pertencem
aos intervalos [m_k,a] ou [b,M_k].


Utilizando argumentos análogos aos utilizados para provar (**)
teremos após p etapas (possivelmente antes)
que as coordenadas do vetor x_(k+p+1) são maiores do que a e menores do que
b.
Assim J_(k+p+1) está contido em (a,b).
Portanto o intervalo J_(k+p+1) não pode conter [a,b]. Contradição.

Ufa! Acho que é isso!

[]s,

Fernando


> > Daí a=b.
> > como
> > A_i está contido em J_i para todo i.
> > segue que A_i converge para {a}
> > e portanto
> > x_n converge para w=(a,a,...,a)
> >
> >
>
>


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================