RE: [obm-l] Geom. Plana

["Osvaldo" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

E ai Thór!


Creio que uma outra res. possível seja algo como esta:

Dois quadrados com mesmo perímetro são certamente 
congruentes.
Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados têm 
perímetro P, assim P=l/4

Faça o desenho. Sejam A,B,C,D os vértices do primeiro 
quadrado e sejam E,F,G,H os vértices do outro quadrado 
de tal forma que B está mais proxima de EF. Sejam I e J 
as intersecções de EF com os lados AB e BC, 
respectivamente; O o centro dos quadrados e X a 
intersecção de OB com o lado EF.

Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ são 
semelhantes caso ~AA. Da proporção AC/OB=IJ/XB 
temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ é o lado do octógono 
regular. 

Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao lado 
do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, l.sqrt
(2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
Observe que o triang. ret. XBJ é isosceles, logo o lado 
do octógono corresponde a duas vezes y ou seja l.(sqrt
(2)-1)=
(P/4).(sqrt(2)-1)

Falow ai




> Olá Thor,
> 
> 	Segue uma resolução possível para esta questão.
> 
> 
> RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
> 
> Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos 
perímetros (P), então eles
> são congruentes, pois terão os mesmos lados (L = 
P/4). Como o esboço da
> figura é muito importante para facilitar a 
compreensão da resolução, segue a
> descrição do mesmo.
> 
> Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L = 
P/4) e centro O. Agora
> obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rotação 
de um ângulo BETA de
> ABCD em torno da sua origem O no sentido horário, tal 
que 0 < BETA < 90°.
> Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados 
como H[1], H[2], H[3],
> ..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de 
interseção mais próximo de
> A no segmento AB.
> 
> Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA') de 
rotação do quadrado
> ABCD deve ser igual a 45°.
> Para isto, considere P o ponto de interseção do 
segmento AO com o lado D'A'
> do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do 
segmento A'O com o lado AB
> do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o ângulo <PH
[1]Q corresponde a um
> dos ângulos internos de um octógono regular (dado do 
enunciado), então:
> <PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135°
> <PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180° => 
<PH[1]A = 45°
> <PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma 
diagonal e um lado do quadrado
> ABCD)
> Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] + 
<PH[1]A => <OPH[1] = 90°
> Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90°
> A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]Q é 
igual a 360°,
> portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360° 
=> 90° + 135° + 90° +
> BETA = 360° => BETA = 45°
> 
> Observe que: AO = AP + PO (i)
> 
> AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO 
= L.sqr(2)/2 (ii)
> 
> AP: metade do lado do octógono regular (X/2), pois na 
dedução do ângulo de
> rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH[1] 
é retângulo isósceles.
> Analogamente, podemos concluir que APH[8] é retângulo 
isósceles. Como o lado
> AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1] e 
APH[8] são congruentes
> pelo critério ALA. Considerando X como a medida do 
lado do octógono regular
> H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH[1] 
= PH[8] = X/2 (iii)
> 
> PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO 
= L/2 (iv)
> 
> Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na 
igualdade (i), teremos:
> L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
> 
> Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
> 
> Atenciosamente,
> 
> Rogério Moraes de Carvalho
> ______________________________________
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Thor
> Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Geom. Plana
> 
>  
>  
> Dois quadrados concêntricos de perímetro P , cada , 
são interceptados de
> modo que os pontos de interseção
> de seus lados sejam os vértices de um octógono 
regular.Qual é o lado desse
> octógono em funçao de P?
>  
>  
> Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai 
parei!!!!
>  
>     Agradeço desde de já.
> 
> 
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar 
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
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> 

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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