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RE: [obm-l] Geom. Plana
Ol� Osvaldo,
N�o h� dados suficientes no enunciado do problema que permitam que
voc� conclua de forma DIRETA que os tri�ngulos ABC e IBJ s�o semelhantes. �
f�cil e direto concluir que os �ngulos do tri�ngulo ABC s�o os seguintes:
<ABC = 90�, <BCA = 45� e <CAB = 45�, uma vez que se trata de um tri�ngulo
ret�ngulo is�sceles (AB = BC = L e <ABC = 90�). Por�m, apesar de podermos
concluir diretamente que no tri�ngulo IBJ o �ngulo <IBJ = 90�, n�o se pode
concluir diretamente que <BJI = 45� ou <JIB = 45�. Sendo assim, n�o �
correto fazer a semelhan�a entre os tri�ngulos ABC e IBJ pelo crit�rio AA~,
a n�o ser que se prove antes que um dos �ngulos agudos do tri�ngulo IBJ �
igual a 45�. Uma poss�vel demonstra��o est� colocada na solu��o que eu
propus.
Atenciosamente,
Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 13:58
To: obm-l
Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
E ai Th�r!
Creio que uma outra res. poss�vel seja algo como esta:
Dois quadrados com mesmo per�metro s�o certamente
congruentes.
Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados t�m
per�metro P, assim P=l/4
Fa�a o desenho. Sejam A,B,C,D os v�rtices do primeiro
quadrado e sejam E,F,G,H os v�rtices do outro quadrado
de tal forma que B est� mais proxima de EF. Sejam I e J
as intersec��es de EF com os lados AB e BC,
respectivamente; O o centro dos quadrados e X a
intersec��o de OB com o lado EF.
Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ s�o
semelhantes caso ~AA. Da propor��o AC/OB=IJ/XB
temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ � o lado do oct�gono
regular.
Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao lado
do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, l.sqrt
(2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
Observe que o triang. ret. XBJ � isosceles, logo o lado
do oct�gono corresponde a duas vezes y ou seja l.(sqrt
(2)-1)=
(P/4).(sqrt(2)-1)
Falow ai
> Ol� Thor,
>
> Segue uma resolu��o poss�vel para esta quest�o.
>
>
> RESOLU��O POSS�VEL:
>
> Se os dois quadrados conc�ntricos t�m os mesmos
per�metros (P), ent�o eles
> s�o congruentes, pois ter�o os mesmos lados (L =
P/4). Como o esbo�o da
> figura � muito importante para facilitar a
compreens�o da resolu��o, segue a
> descri��o do mesmo.
>
> Seja ABCD um quadrado de per�metro P, lado L (L =
P/4) e centro O. Agora
> obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rota��o
de um �ngulo BETA de
> ABCD em torno da sua origem O no sentido hor�rio, tal
que 0 < BETA < 90�.
> Nomeie os pontos de interse��o dos dois quadrados
como H[1], H[2], H[3],
> ..., H[8] no sentido hor�rio partindo do ponto de
interse��o mais pr�ximo de
> A no segmento AB.
>
> Segue a demonstra��o de que o �ngulo BETA (<AOA') de
rota��o do quadrado
> ABCD deve ser igual a 45�.
> Para isto, considere P o ponto de interse��o do
segmento AO com o lado D'A'
> do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interse��o do
segmento A'O com o lado AB
> do quadrado ABCD. No quadril�tero PH[1]QO o �ngulo <PH
[1]Q corresponde a um
> dos �ngulos internos de um oct�gono regular (dado do
enunciado), ent�o:
> <PH[1]Q = (8 - 2).180�/8 = 135�
> <PH[1]A + <PH[1]Q = 180� => <PH[1]A + 135� = 180� =>
<PH[1]A = 45�
> <PAH[1] = 45� (�ngulo agudo formado entre uma
diagonal e um lado do quadrado
> ABCD)
> Pelo Teorema do �ngulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] +
<PH[1]A => <OPH[1] = 90�
> Analogamente, conclu�mos que <H[1]QO = 90�
> A soma dos �ngulos internos do quadril�tero OPH[1]Q �
igual a 360�,
> portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360�
=> 90� + 135� + 90� +
> BETA = 360� => BETA = 45�
>
> Observe que: AO = AP + PO (i)
>
> AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO
= L.sqr(2)/2 (ii)
>
> AP: metade do lado do oct�gono regular (X/2), pois na
dedu��o do �ngulo de
> rota��o (BETA) n�s conclu�mos que o tri�ngulo APH[1]
� ret�ngulo is�sceles.
> Analogamente, podemos concluir que APH[8] � ret�ngulo
is�sceles. Como o lado
> AP � comum, podemos dizer que os tri�ngulo APH[1] e
APH[8] s�o congruentes
> pelo crit�rio ALA. Considerando X como a medida do
lado do oct�gono regular
> H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH[1]
= PH[8] = X/2 (iii)
>
> PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO
= L/2 (iv)
>
> Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na
igualdade (i), teremos:
> L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
>
> Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
>
> Atenciosamente,
>
> Rog�rio Moraes de Carvalho
> ______________________________________
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Thor
> Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Geom. Plana
>
> �
> �
> Dois quadrados conc�ntricos de per�metro P , cada ,
s�o interceptados de
> modo que os pontos de interse��o
> de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono
regular.Qual � o lado desse
> oct�gono em fun�ao de P?
> �
> �
> Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai
parei!!!!
> �
> ��� Agrade�o desde de j�.
>
>
>
>
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Atenciosamente,
Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usu�rio de GNU/Linux
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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