Re: [obm-l] determinantes

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Eduardo Henrique Leitner said:
> ol�, gostaria de saber se existe uma defini��o exata de determinante de
> uma matriz...
>
> � que eu j� vi 3 defini��es distintas e gostaria de saber se todas sao
> aceitas como defini��es mesmo, ou apenas uma delas � a certa e as outras
> sao teoremas a partir dessa, ou � ainda uma outra al�m dessa 3...
> [...]

As tr�s est�o certas.

Eu vou confundir as coisas mais um pouco e introduzir um quarta (!)
defini��o de determinante na hist�ria:

Def.: O determinante de uma matriz � a �nica transforma��o multilinear
alternada das colunas dessa matriz tal que det(I) = 1.

Eu vou agora explicar o que significa essa defini��o.

O determinante � multilinear
----------------------------

Isso quer dizer que se uma matriz A possui colunas [a_1+b_1, a_2, ...,
a_n], ent�o

det[a_1+b_1, a_2, ..., a_n] = det[a_1, a_2, ..., a_n] + det[b_1, a_2, ...,
a_n].

e analogamente para as outras colunas. Al�m disso,

det[c*a_1, a_2, ..., a_n] = c*det[a_1, a_2, ..., a_n]

e analogamente para as outras colunas.

O determinante � alternado
--------------------------

Isso quer dizer que, ao trocar duas colunas quaisquer da matriz, o seu
determinante muda de sinal. Em outras palavras,

det[a_1, ..., a_i, ..., a_j, ..., a_n] = -det[a_1, ..., a_j, ..., a_i,
..., a_n]

para todos os i e j, 1 <= i < j <= n.

det(I) = 1
----------

Seja I a matriz identidade, i.e. I = [e_1 e_2 ... e_n], onde e_i � o vetor
que tem zeros em todas as posi��es, exceto a i-�sima posi��o, onde ele tem
um 1. Ent�o det(I) = 1, por defini��o.
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Isso � muito legal, mas como eu fa�o para, realmente, calcular um
determinante?

Considere a matriz A = [a b; c d] (isto �, a matriz 2x2 que tem os
elementos a e b na primeira linha e c e d na segunda linha). Quanto vale
det(A)?

D = det[a b; c d] = det[a b; 0 d] + det[0 b; c d] pela multinearidade na
primeira coluna. Aplicando a multilinearidade nas segundas colunas das
duas matrizes, temos que
det[a b; 0 d] = det[a 0; 0 d] + det[a b; 0 0]
det[0 b; c d] = det[0 0; c d] + det[0 b; c 0].

Logo D = det[a 0; 0 d] + det[a b; 0 0] + det[0 0; c d] + det[0 b; c 0].

Usando novamente a multinearidade em cada uma das colunas, removemos as
vari�veis de dentro da matriz. O que resta �
D = ad*det[1 0; 0 1] + ab*det[1 1; 0 0] + cd*det[0 0; 1 1] + bc*det[0 1; 1
0].
A primeira matriz � a identidade, logo seu determinante � um. A �ltima
matriz, ao trocarmos a primeira e a segunda colunas, torna-se a
identidade, logo ela tem determinante -1 (pois invertemos o sinal do
determinante ao trocar as duas colunas). Logo
D = ad - bc + ab*det[1 1; 0 0] + cd*det[0 0; 1 1].

Mas quanto vale det[1 1; 0 0]? Ora, se trocarmos as duas colunas deste
determinante, ele deve mudar de sinal. Mas, com essa opera��o, a matriz
sobre a qual operamos n�o muda, logo det[1 1; 0 0] = -det[1 1; 0 0] <=>
det[1 1; 0 0] = 0. Analogamente, det[0 0; 1 1] = 0. Finalmente,

det[a b; c d] = ad - bc.

Note que podemos generalizar o que acabamos que fazer: se uma matriz tem
duas colunas iguais ent�o seu determinante � zero, pois permut�-las muda o
sinal deste mas, ao mesmo tempo, n�o o altera.

E se quisermos um determinante 3x3? Mesma coisa, exceto que agora teremos
9 matrizes s� de zeros e uns. Tr�s delas ter�o determinante zero; todas as
outras ter�o determinante +-1.

Eu n�o farei essa conta, mas vale a pena conferir que essa conta d� o
mesmo que a regra de Sarrus.
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Agora eu vou come�ar a responder a sua pergunta: provarei que a defini��o
do Iezzi equivale � minha.

Considere a matriz A = [a_1 a_2 ... a_n], onde a_i � o i-�simo vetor
coluna de A e seja ainda a_1 = (x_1, x_2, ..., x_n).

Pela multilinearidade do determinante,

det A = x_1*det[e_1 a_2 ... a_n] + x_2*det[e_2 a_2 ... a_n] + ... +
x_n*det[e_n a_2 ... a_n].

Agora eu precisarei dos dois seguintes lemas:

Lema 1: Se a matriz A tem duas colunas, uma m�ltipla da outra, ent�o det A
= 0.

Prova: Se A = [a_1 ... a_i ... c*a_i ... a_n], ent�o
det A = c * det[a_1 ... a_i ... a_i ... a_n] = c * 0 = 0.

Lema 2: det[a_1 ... a_i ... (a_j - k*a_i) ... a_n] = det[a_1 ... a_i ...
a_j ... a_n].

Prova: Pela multinearidade na j-�sima coluna, det[a_1 ... a_i ... (a_j -
k*a_i) ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n] + det[a_1 ... a_i ...
-k*a_i ... a_n] = det[a_1 ... a_i ... a_j ... a_n].

Em particular estes dois lemas implicam que podemos zerar a i-�sima
coordenada de todas as colunas exceto a primeira de [e_i a_2 ... a_n] sem
alterar o determinante -- basta tomar a matriz B_i = [e_i a_2-a_i2*e_i ...
a_n-a_in*e_i]. Seja ent�o B_i = [e_i b_1 ... b_(n-1)]. Troque agora a
primeira coluna com a segunda, a segunda com a terceira e assim
sucessivamente, at� trocar a (i-1)-�sima coluna com a i-�sima coluna.
Nessa hist�ria, a coluna e_i andou at� a i-�sima posi��o, preservando a
ordem relativa das outras colunas. Seja C_i essa nova matriz.

Como efetuamos i-1 trocas de colunas, det C_i = (-1)^(i-1) * det B_i. Mas
o jeit�o da matriz C_i � este aqui (use uma fonte de largura fixa):

     1         j       n
     |         |       |
     V         V       V
1-> [* * ... * 0 * ... *]
    [* * ... * 0 * ... *]
    [. . .   . . . .   .]
    [. .  .  . . .  .  .]
    [. .   . . . .   . .]
    [* * ... * 0 * ... *]
j-> [0 0 ... 0 1 0 ... 0]
    [* * ... * 0 * ... *]
    [. . .   . . . .   .]
    [. .  .  . . .  .  .]
    [. .   . . . .   . .]
n-> [* * ... * 0 * ... *]

Esque�a agora que a j-�sima linha e a j-�sima coluna existem e fa�a a
decomposi��o que eu fiz para o determinante 2x2 (e esbocei para o 3x3)
para as outras n-1 colunas, *sem mexer na j-�sima coluna*. Como nenhuma
das colunas possui j-�sima coordenada n�o nula, nenhuma das n-1 colunas
terminar� com um vetor e_j. Finalmente, permute as colunas para que a
matriz termine como a identidade (possivelmente com mudan�as de sinal).
Note agora que quando as n-1 colunas estiverem posiciondas para que elas
formem a identidade, desconsiderando a j-�sima linha e a j-�sima coluna,
elas continuam formando a identidade mesmo se mantivermos a j-�sima linha
e a j-�sima coluna. Logo as matrizes que dariam um se estiv�ssemos
calculando det[b_1 b_2 ... b_(n-1)] continuam dando o mesmo valor. Logo
det C_i = det[b_1 b_2 ... b_(n-1)]. Logo det B_i = (-1)^(i+1) * det[b_1
b_2 ... b_(n-1)] (pois (-1)^(i-1)=(-1)^(i+1)), logo

det A = x_1*(-1)^(1+1)*det[b_11 b_12 ... b_1n] + ... +
x_n*(-1)^(n+1)*det[b_n1 b_n2 ... b_nn], onde b_ij � a (j+1)-�sima coluna
de A, com a i-�sima coordenada suprimida.

Mas isso � a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna
multiplicados pelos seus respectivos cofatores.
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Agora para a segunda defini��o:

Note que para calcular det A, A uma matriz de ordem nxn, expandimos esta
matriz em n^n outras matrizes. Mas s� aquelas que n�o repetem nenhum
vetor-coluna s�o n�o-nulas, e existem n! delas, associadas �s permuta��es
das colunas de [e_1 e_2 ... e_n].

Considere agora uma dessas permuta��es. Cada troca de colunas � uma
invers�o da permuta��o das colunas. Se for necess�rio um n�mero par de
invers�es, essa matriz contribui com uma parcela positiva no determinante;
caso contr�rio, contribui com uma parcela negativa.

Logo est� demonstrada a equival�ncia com a defini��o do Hugo.
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Lema: Se A � triangular ent�o det A = a_11*a_22*...*a_nn.

Prova: Segue trivialmente atrav�s da aplica��o repetida do Teorema de
Laplace na primeira coluna (no fundo foi isso que eu demonstrei na
defini��o do Iezzi).

Note que para provar que se A e B s�o semelhantes ent�o det A = det B,
basta demonstrar que det AB = det A * det B, pois ent�o A = P*B*P^-1 =>
det A = det P*B*P^(-1) = det P*det B*det P(-1) = det B*det(P*P(-1)) = det
B*det I = B.

Note agora que se C = AB ent�o c_ij = a_i1*b_1j + a_i2*b_2j + ... +
a_in*b_nj. Ent�o, aplicando a multilinearidade na primeira coluna de C,
temos que

det C = b_11*det[a_1' c_2 ... c_n] + b_21*det[a_2' c_2 ... c_n] + ... +
b_n1*det[a_n' c_2 ... c_n]

onde a_i' � a i-�sima *linha* de A e c_i � a i-�sima coluna de C. Aplique
novamente a multinearidade na segunda, na terceira, ..., na n-�sima
coluna, nesta ordem. Apenas as matrizes nas quais todos os a_i' s�o
distintos podem ter determinantes n�o-nulos. Permute as colunas dessas
matrizes at� que todas se tornem iguais a [a_1' a_2' ... a_n']. Note que o
sinal que os termos n�o-nulos ter�o adquirido correspondendem justamente �
paridade da permuta��o original das colunas, que corresponde � permuta��o
dos b_ij, quando os b_ij s�o considerados em ordem crescente.

Logo, colocando det[a_1' a_2' ... a_n'] em evid�ncia, o que sobra � o
determinante de B, dessa vez considerado sobre o ponto de vista de
permuta��es.

Logo sabemos que det C = det B * det[a_1' a_2' ... a_n']. Basta, portanto,
demonstrar o seguinte lema:

Lema: det A = det A', onde A' � a transposta de A.

Prova: Note que se P = [e_s(1) e_s(2) ... e_s(n)], onde s: {1, ..., n} ->
{1, ..., n} � uma permuta��o, ent�o trocar a i-�sima e a j-�sima colunas
de P equivale a trocar a s(i)-�sima e a s(j)-�sima linhas de P, logo o
determinante de P' = [e_t(1) e_t(2) ... e_t(n)], onde t � a permuta��o
inversa de s, � igual ao de P. Logo s tem a mesma paridade de t. Logo ao
transpormos a matriz, o determinante n�o se altera (olhe para o
determinante sobre o ponto de vista de permuta��es).
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Ufa!

Se voc� quiser saber mais sobre �lgebra linear e/ou determinantes, uma boa
refer�ncia � o livro "�lgebra Linear" do Elon (publicado pela SBM). Uma
abordagem mais elementar, mas tamb�m muito boa, � feita no "A Matem�tica
do Ensino M�dio -- Volume 3", do Elon, Paulo Cezar, Morgado e Jos� Paulo
Carneiro.

[]s,

-- 
F�bio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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