Re: [obm-l] determinantes

[Faelccmm@xxxxxxx]

Pegando um gancho:

De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo, mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho* da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao ! Ironicamente falando :-)



Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, ehl@netbank.com.br escreveu:


> olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz... 
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> é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3...
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> uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é:
> "O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equiparável a A."
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> bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstração desses dois teoremas:
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> "Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equiparável a A."
> esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não consegui...
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> "Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal."
> esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar.
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> bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.:
> "O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores."
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> a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves:
> "o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna,  sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, negativamente."
> nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi:
> "permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par"
> e a explicação para inversões foi:
> "inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram na permutação inicial.  No caso de a permutação inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais que p > q."
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> nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permutação...
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> bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, gostaria de saber onde poderia encontrar a demonstração do teorema fundamental de Laplace.
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> desde já agradeço