[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!

["Osvaldo" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

Desculpe-me se fui parcial Dr., porém equivoquei-me ao 
ler o enunciado da questão. Eu apenas fiz os calculos 
para os números inteiros e não naturais, ou seja, 
inclui algumas possibilidades a mais. 
Obrigado pela observação!





> Olá colegas da lista,
> 
> 	Apesar da resolução apresentada pelo Osvaldo 
ter seguido um possível
> raciocínio correto para resolver esta questão, a 
análise dele está
> incompleta porque omite alguns passos muito 
importantes, o que pode nos
> levar a encontrar soluções inválidas. Neste problema 
especificamente, a
> resposta encontrada está correta, porém, se 
modificarmos o valor da
> diferença de quadrados de 27 para outro valor, então 
a resolução dele pode
> nos levar a resultados errados.
> 
> 	A análise que eu apresento a seguir 
corresponde a uma crítica de
> caráter construtivo com relação à resolução 
apresentada pelo Osvaldo. O
> objetivo desta análise não é depreciar a resolução 
do Osvaldo, mas sim de
> mostrar que é necessário sermos rigorosos nas 
resoluções de problemas de
> Matemática para não chegarmos a resultados 
incorretos. Muitas vezes podemos
> encontrar uma resposta correta para uma questão 
resolvendo-a de maneira
> errada.
> 
> 	Na resolução apresentada abaixo, considere 
que "=>" significa
> "implica" e ">=" significa "maior ou igual a".
> 
> 
> QUESTÃO ORIGINAL:
> 
> "A diferença entre os quadrados de dois números 
naturais é 27. UM dos
> possíveis valores do quadrado da soma desses dois 
números:
> a)529
> b)625
> c)729
> d)841"
> 
> 
> RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
> 
> Sejam x e y os dois números naturais, então devemos 
ter:
> x^2 - y^2 = 27 <=> (x + y)(x - y) = 27
> 
> Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
> a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b é 
positivo)
> Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e 
y, podemos encontrar x e
> y em função de a e b:
> a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a 
+ b)/2 (ii)
> a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a -
 b)/2 (iii)
> 
> Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0. 
Portanto:
> x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade 
(i), a não pode ser 0,
> logo a > 0 (iv)
> Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v)
> y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => 
x + y >= x - y =>
> a >= b (vi)
> Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii)
> 
> Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais 
que sejam satisfeitas as
> seguintes condições:
> a.b = 27 (ii)
> a >= b > 0 (vii)
> x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
> y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
> 
> Analisando os divisores de 27, podemos concluir que 
existem apenas dois
> pares de valores de a e b que satisfazem as 
condições (ii) e (vii):
> (a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3)
> 
> Para a = 27 e b = 1:
> x = (27 + 1)/2 = 14 é um número natural.
> y = (27 - 1)/2 = 13 é um número natural.
> Portanto, x = 14 e y = 13 é uma solução possível.
> 
> Para a = 9 e b = 3:
> x = (9 + 3)/2 = 6 é um número natural.
> y = (9 - 3)/2 = 3 é um número natural.
> Portanto, x = 6 e y = 3 é uma solução possível.
> 
> Possíveis valores para (x + y)^2:
> (x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729
> (x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81
> 
> Resposta: Alternativa c
> 
> 
> Observação: Pode parecer que os passos apresentados 
para deduzir as
> condições são desnecessários, mas são eles que 
garantem a validade das
> soluções encontradas.
> 
> 
> EXPLICAÇÃO DO MOTIVO DA RESOLUÇÃO APRESENTADA PELO 
OSVALDO SER INCOMPLETA:
> 
> Na resolução são apresentados 4 valores possíveis 
para a e b (a,b):
> {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Porém, (1,27) e (3,9) 
não satisfazem a condição
> (vii): a >= b > 0. Portanto, somente os pares (9,3) 
e (27,1) correspondem a
> possíveis valores para a e b, restando apenas 
verificar se eles produzem
> valores naturais para x e y. Logo, na lista de 
valores apresentados para
> (x+y)^2 = a^2, {1, 9, 81, 729}, não poderia aparecer 
os valores 1 = 1^2 e
> nem 9 = 3^2. Além disto, não há garantia de que 81 = 
9^2 e 729 = 27^2
> correspondem a valores de a e b válidos, pois os 
valores de x e y não são
> calculados para verificar se eles são naturais, como 
foi descrito no
> enunciado do problema. Portanto, os valores de a e b 
encontrados poderiam
> não ser válidos. Neste problema específico, os 
valores de a e b encontrados
> são válidos, logo a resposta encontrada está 
correta. A seguir, eu apresento
> uma variação deste problema que mostra de maneira 
concreta que a resolução
> apresentada pelo Osvaldo pode apresentar resultados 
errados. Para se ter uma
> idéia apenas 1 resultado, dos 6 encontrados, é 
correto!
> 
> 
> 
> QUESTÃO MODIFICADA:
> 
> "A diferença entre os quadrados de dois números 
naturais é 68. UM dos
> possíveis valores do quadrado da soma desses dois 
números:
> a)16
> b)289
> c)1156
> d)4624"
> 
> 
> RESOLUÇÃO DO OSVALDO ALTERADA PARA A VERSÃO 
MODIFICADA DA QUESTÃO:
> 
> sejam x e y tais numeros, dai temos que
> x^2-y^2=68
> 
> (x+y)(x-y)=68
> 
> 
> a=x+y
> b=x-y
> 
> Possiveis valores para a e b (x,y):
> 
> {(1,68),(2,34),(4,17),(17,4),(34,2),(68,1)}
> 
> Assim (x+y)^2=a^2
> 
> Temos então que todos os valores de (x+y)^2 
pertencem a
> {1, 4, 16, 289, 1156, 4624)
> 
> Logo quatro dos valores possiveis são 16, 289, 1156 
e 4624
> resposta a, b, c, d
> 
> 
> 
> RESOLUÇÃO CORRETA POSSÍVEL PARA A QUESTÃO MODIFICADA:
> 
> Sejam x e y os dois números naturais, então devemos 
ter:
> x^2 - y^2 = 68 <=> (x + y)(x - y) = 68
> 
> Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
> a.b = 68 (i) (Observe que o produto de a e b é 
positivo)
> Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e 
y, podemos encontrar x e
> y em função de a e b:
> a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a 
+ b)/2 (ii)
> a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a -
 b)/2 (iii)
> 
> Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0. 
Portanto:
> x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade 
(i), a não pode ser 0,
> logo a > 0 (iv)
> Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v)
> y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y => 
x + y >= x - y =>
> a >= b (vi)
> Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii)
> 
> Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais 
que sejam satisfeitas as
> seguintes condições:
> a.b = 68 (ii)
> a >= b > 0 (vii)
> x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
> y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
> 
> Analisando os divisores de 68, podemos concluir que 
existem apenas três
> pares de valores de a e b que satisfazem as 
condições (ii) e (vii):
> (a = 68 e b = 1) ou (a = 34 e b = 2) ou (a = 17 e b 
= 4)
> 
> Para a = 68 e b = 1:
> x = (68 + 1)/2 = 69/2 NÃO é um número natural.
> y = (68 - 1)/2 = 67/2 NÃO é um número natural.
> Portanto, x = 69/2 e y = 67/2 NÃO é uma solução 
possível.
> 
> Para a = 34 e b = 2:
> x = (34 + 2)/2 = 18 é um número natural.
> y = (34 - 2)/2 = 16 é um número natural.
> Portanto, x = 18 e y = 16 é uma solução possível.
> 
> Para a = 17 e b = 4:
> x = (17 + 4)/2 = 21/2 NÃO é um número natural.
> y = (17 - 4)/2 = 13/2 NÃO é um número natural.
> Portanto, x = 21/2 e y = 13/2 NÃO é uma solução 
possível.
> 
> Único valor possível para (x + y)^2:
> (x + y)^2 = (18 + 16)^2 = 34^2 = 1156
> 
> Resposta: Alternativa c
> 
> 
> 
> Atenciosamente,
> 
> Rogério Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: domingo, 23 de maio de 2004 01:01
> To: obm-l
> Subject: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
> 
> sejam x e y tais numeros, dai temos que
> x^2-y^2=27
> 
> (x+y)(x-y)=27
> 
> 
> a=x+y
> b=x-y
> 
> Possiveis valores para a e b (x,y):
> 
> {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}
> 
> Assim (x+y)^2=a^2
> 
> Temos então que todos os valores de (x+y)^2 
pertencem a
> {1, 9, 81, 729)
> 
> Logo um dos valores possiveis é 729
> resposta c
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> > 1)a diferença entre os quadrados de dois números 
> naturais é 27.UM dos possíveis valores do quadrado 
da 
> soma desses dois números:
> > 
> > a)529
> > b)625
> > c)729
> > d)841
> > 
> 
> Atenciosamente,
> 
> Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado 
> Usuário de GNU/Linux
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