[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
Olá Osvaldo,
Não há a necessidade de formalidades, mesmo porque eu não sou Dr..
Eu gostaria de ressaltar o seguinte comentário que eu coloquei no início dos
meus comentários, caso não tenha ficado claro: "A análise que eu apresento a
seguir corresponde a uma crítica de CARÁTER CONSTRUTIVO com relação à
resolução apresentada pelo Osvaldo. O objetivo desta análise não é depreciar
a resolução do Osvaldo, mas sim de mostrar que é necessário sermos rigorosos
nas resoluções de problemas de Matemática para não chegarmos a resultados
incorretos. Muitas vezes podemos encontrar uma resposta correta para uma
questão resolvendo-a de maneira errada."
É importante ficar claro que mesmo para o conjunto dos números
inteiros a sua solução está incompleta. Observe que você não verificou se os
valores de "a" e "b" encontrados produzem valores inteiros de "x" e "y".
Neste caso, você não utilizaria a condição a >= b > 0 e encontraria todos os
valores inteiros de "a" e "b" que reproduzem o produto. Veja o exemplo da
questão modificada para constatar que a sua resolução apresentará resultados
inválidos mesmo no conjunto dos números inteiros.
Atenciosamente,
Rogério Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: domingo, 23 de maio de 2004 17:54
To: obm-l
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
Desculpe-me se fui parcial Dr., porém equivoquei-me ao
ler o enunciado da questão. Eu apenas fiz os calculos
para os números inteiros e não naturais, ou seja,
inclui algumas possibilidades a mais.
Obrigado pela observação!
> Olá colegas da lista,
>
> Apesar da resolução apresentada pelo Osvaldo
ter seguido um possível
> raciocínio correto para resolver esta questão, a
análise dele está
> incompleta porque omite alguns passos muito
importantes, o que pode nos
> levar a encontrar soluções inválidas. Neste problema
especificamente, a
> resposta encontrada está correta, porém, se
modificarmos o valor da
> diferença de quadrados de 27 para outro valor, então
a resolução dele pode
> nos levar a resultados errados.
>
> A análise que eu apresento a seguir
corresponde a uma crítica de
> caráter construtivo com relação à resolução
apresentada pelo Osvaldo. O
> objetivo desta análise não é depreciar a resolução
do Osvaldo, mas sim de
> mostrar que é necessário sermos rigorosos nas
resoluções de problemas de
> Matemática para não chegarmos a resultados
incorretos. Muitas vezes podemos
> encontrar uma resposta correta para uma questão
resolvendo-a de maneira
> errada.
>
> Na resolução apresentada abaixo, considere
que "=>" significa
> "implica" e ">=" significa "maior ou igual a".
>
>
> QUESTÃO ORIGINAL:
>
> "A diferença entre os quadrados de dois números
naturais é 27. UM dos
> possíveis valores do quadrado da soma desses dois
números:
> a)529
> b)625
> c)729
> d)841"
>
>
> RESOLUÇÃO POSSÍVEL:
>
> Sejam x e y os dois números naturais, então devemos
ter:
> x^2 - y^2 = 27 <=> (x + y)(x - y) = 27
>
> Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
> a.b = 27 (i) (Observe que o produto de a e b é
positivo)
> Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e
y, podemos encontrar x e
> y em função de a e b:
> a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a
+ b)/2 (ii)
> a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a -
b)/2 (iii)
>
> Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0.
Portanto:
> x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade
(i), a não pode ser 0,
> logo a > 0 (iv)
> Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v)
> y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y =>
x + y >= x - y =>
> a >= b (vi)
> Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii)
>
> Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais
que sejam satisfeitas as
> seguintes condições:
> a.b = 27 (ii)
> a >= b > 0 (vii)
> x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
> y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
>
> Analisando os divisores de 27, podemos concluir que
existem apenas dois
> pares de valores de a e b que satisfazem as
condições (ii) e (vii):
> (a = 27 e b = 1) ou (a = 9 e b = 3)
>
> Para a = 27 e b = 1:
> x = (27 + 1)/2 = 14 é um número natural.
> y = (27 - 1)/2 = 13 é um número natural.
> Portanto, x = 14 e y = 13 é uma solução possível.
>
> Para a = 9 e b = 3:
> x = (9 + 3)/2 = 6 é um número natural.
> y = (9 - 3)/2 = 3 é um número natural.
> Portanto, x = 6 e y = 3 é uma solução possível.
>
> Possíveis valores para (x + y)^2:
> (x + y)^2 = (14 + 13)^2 = 27^2 = 729
> (x + y)^2 = (6 + 3)^2 = 9^2 = 81
>
> Resposta: Alternativa c
>
>
> Observação: Pode parecer que os passos apresentados
para deduzir as
> condições são desnecessários, mas são eles que
garantem a validade das
> soluções encontradas.
>
>
> EXPLICAÇÃO DO MOTIVO DA RESOLUÇÃO APRESENTADA PELO
OSVALDO SER INCOMPLETA:
>
> Na resolução são apresentados 4 valores possíveis
para a e b (a,b):
> {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}. Porém, (1,27) e (3,9)
não satisfazem a condição
> (vii): a >= b > 0. Portanto, somente os pares (9,3)
e (27,1) correspondem a
> possíveis valores para a e b, restando apenas
verificar se eles produzem
> valores naturais para x e y. Logo, na lista de
valores apresentados para
> (x+y)^2 = a^2, {1, 9, 81, 729}, não poderia aparecer
os valores 1 = 1^2 e
> nem 9 = 3^2. Além disto, não há garantia de que 81 =
9^2 e 729 = 27^2
> correspondem a valores de a e b válidos, pois os
valores de x e y não são
> calculados para verificar se eles são naturais, como
foi descrito no
> enunciado do problema. Portanto, os valores de a e b
encontrados poderiam
> não ser válidos. Neste problema específico, os
valores de a e b encontrados
> são válidos, logo a resposta encontrada está
correta. A seguir, eu apresento
> uma variação deste problema que mostra de maneira
concreta que a resolução
> apresentada pelo Osvaldo pode apresentar resultados
errados. Para se ter uma
> idéia apenas 1 resultado, dos 6 encontrados, é
correto!
>
>
>
> QUESTÃO MODIFICADA:
>
> "A diferença entre os quadrados de dois números
naturais é 68. UM dos
> possíveis valores do quadrado da soma desses dois
números:
> a)16
> b)289
> c)1156
> d)4624"
>
>
> RESOLUÇÃO DO OSVALDO ALTERADA PARA A VERSÃO
MODIFICADA DA QUESTÃO:
>
> sejam x e y tais numeros, dai temos que
> x^2-y^2=68
>
> (x+y)(x-y)=68
>
>
> a=x+y
> b=x-y
>
> Possiveis valores para a e b (x,y):
>
> {(1,68),(2,34),(4,17),(17,4),(34,2),(68,1)}
>
> Assim (x+y)^2=a^2
>
> Temos então que todos os valores de (x+y)^2
pertencem a
> {1, 4, 16, 289, 1156, 4624)
>
> Logo quatro dos valores possiveis são 16, 289, 1156
e 4624
> resposta a, b, c, d
>
>
>
> RESOLUÇÃO CORRETA POSSÍVEL PARA A QUESTÃO MODIFICADA:
>
> Sejam x e y os dois números naturais, então devemos
ter:
> x^2 - y^2 = 68 <=> (x + y)(x - y) = 68
>
> Adotando a = x + y e b = x - y, teremos:
> a.b = 68 (i) (Observe que o produto de a e b é
positivo)
> Resolvendo o sistema de equações nas variáveis x e
y, podemos encontrar x e
> y em função de a e b:
> a + b = (x + y) + (x - y) <=> a + b = 2x <=> x = (a
+ b)/2 (ii)
> a - b = (x + y) - (x - y) <=> a - b = 2y <=> y = (a -
b)/2 (iii)
>
> Como x e y são naturais, então x >= 0 e y >= 0.
Portanto:
> x + y >= 0 + 0 => a >= 0. De acordo com a igualdade
(i), a não pode ser 0,
> logo a > 0 (iv)
> Como a.b > 0 (i) e a > 0 (iv), então b > 0 (v)
> y >= 0 => -y <= 0 => y >= 0 e 0 >= -y => y >= -y =>
x + y >= x - y =>
> a >= b (vi)
> Por (v) e (vi), concluímos que: a >= b > 0 (vii)
>
> Sendo assim, devemos encontrar a e b inteiros tais
que sejam satisfeitas as
> seguintes condições:
> a.b = 68 (ii)
> a >= b > 0 (vii)
> x = (a + b)/2 (ii) seja um número natural.
> y = (a - b)/2 (iii) seja um número natural.
>
> Analisando os divisores de 68, podemos concluir que
existem apenas três
> pares de valores de a e b que satisfazem as
condições (ii) e (vii):
> (a = 68 e b = 1) ou (a = 34 e b = 2) ou (a = 17 e b
= 4)
>
> Para a = 68 e b = 1:
> x = (68 + 1)/2 = 69/2 NÃO é um número natural.
> y = (68 - 1)/2 = 67/2 NÃO é um número natural.
> Portanto, x = 69/2 e y = 67/2 NÃO é uma solução
possível.
>
> Para a = 34 e b = 2:
> x = (34 + 2)/2 = 18 é um número natural.
> y = (34 - 2)/2 = 16 é um número natural.
> Portanto, x = 18 e y = 16 é uma solução possível.
>
> Para a = 17 e b = 4:
> x = (17 + 4)/2 = 21/2 NÃO é um número natural.
> y = (17 - 4)/2 = 13/2 NÃO é um número natural.
> Portanto, x = 21/2 e y = 13/2 NÃO é uma solução
possível.
>
> Único valor possível para (x + y)^2:
> (x + y)^2 = (18 + 16)^2 = 34^2 = 1156
>
> Resposta: Alternativa c
>
>
>
> Atenciosamente,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: domingo, 23 de maio de 2004 01:01
> To: obm-l
> Subject: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida chara!
>
> sejam x e y tais numeros, dai temos que
> x^2-y^2=27
>
> (x+y)(x-y)=27
>
>
> a=x+y
> b=x-y
>
> Possiveis valores para a e b (x,y):
>
> {(1,27),(3,9),(9,3),(27,1)}
>
> Assim (x+y)^2=a^2
>
> Temos então que todos os valores de (x+y)^2
pertencem a
> {1, 9, 81, 729)
>
> Logo um dos valores possiveis é 729
> resposta c
>
>
>
>
>
>
> > 1)a diferença entre os quadrados de dois números
> naturais é 27.UM dos possíveis valores do quadrado
da
> soma desses dois números:
> >
> > a)529
> > b)625
> > c)729
> > d)841
> >
>
> Atenciosamente,
>
> Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
> Osvaldo Mello Sponquiado
> Usuário de GNU/Linux
>
>
>
>
_______________________________________________________
___________________
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - É grátis!
> http://antipopup.uol.com.br/
>
>
>
>
=======================================================
==================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=======================================================
==================
>
>
>
>
=======================================================
==================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=======================================================
==================
>
Atenciosamente,
Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado
Usuário de GNU/Linux
__________________________________________________________________________
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================