Re: [obm-l] Soma...

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Tem sim.

Seja a_i o termo geral de uma PA de
ordem k.  Então
S_n^[k] = sum_{i=1}^n a_i =
Delta^k a_1 binom{n}{k+1} +
Delta^{k-1}a_1 binom{n}{k} +
..... Delta a_1 binom{n}{2} +
a_1 binom{n}{1}

Ex.: 1+3+19+61+141+271+ ...  (PA de ordem k).

Construa a tabela

        a_i     1         3       19      61      141        271
    D a_i           2        16      42      80        130
D^2 a_i                14       26      38      50
D^3 a_i                      12       12      12    (k=3)

S_n^[3] = D^3 a_1 binom{n}{4} +
D^2 a_1 binom{n}{3} + D a_1 binom{n}{2} +
a_1 binom{n}{1} =
12 binom{n}{4} + 14 binom{n}{3} +
2 binom{n}{2} + n =
n(3n^3 - 4n^2 - 3n + 10) / 6.

Use a fórmula para 1^3 + 2^3 + 3^3 + .... n^3.

Não me lembro de onde tirei a fórmula geral.
Veja um livro de métodos numéricos.

[]'s
Luís


-----Mensagem Original----- 
De: "Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet"
<peterdirichlet2002@yahoo.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quarta-feira, 19 de maio de 2004 14:27
Assunto: RE: [obm-l] Soma...


> Ola turma!
> Eu tenho ca uma pergunta: existe uma formula
> fechada para as somas das k-esimas potencias,
> sem, digamos, saber o k particular?
> Melhor falando: dada a funçao f(k,n)= soma das
> k-esimas potencias dos n primeiros inteiros
> positivos, exprima f como uma formula fechada.
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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