RE: [obm-l] Soma...

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <peterdirichlet2002@xxxxxxxxxxxx>]

Ola turma!
Eu tenho ca uma pergunta: existe uma formula
fechada para as somas das k-esimas potencias,
sem, digamos, saber o k particular?
Melhor falando: dada a funçao f(k,n)= soma das
k-esimas potencias dos n primeiros inteiros
positivos, exprima f como uma formula fechada.

 --- Rogério_Moraes_de_Carvalho
<rogeriom@gmx.net> escreveu: > Olá Crom,
> 
> 	Muitos livros de Matemática apresentam uma
> possível dedução da
> fórmula da soma das potências k-ésimas (k
> inteiro positivo) dos n primeiros
> inteiros positivos pelo método que você
> apresentou parcialmente, ou seja,
> usando o desenvolvimento do binômio de Newton
> (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o
> somatório com x variando de 1 até n a ambos os
> membros da igualdade, os
> termos de grau (k + 1) podem ser cancelados,
> com exceção de (n + 1)^(k + 1)
> no primeiro membro da igualdade e 1^(k + 1) = 1
> no segundo membro da
> igualdade. Porém, para descobrir a fórmula da
> soma das potências k-ésimas,
> nós precisamos conhecer todas as fórmulas das
> somas das potências com
> expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós
> encontramos uma fórmula de
> recorrência para deduzir a soma das potências
> k-ésimas dos n primeiros
> inteiros positivos, porém o processo vai
> ficando muito longo à medida que os
> expoentes vão crescendo.
> 
> 	A seguir, eu apresento um método que pode ser
> utilizado para
> encontrar a soma das potências k-ésimas dos n
> primeiros inteiros positivos
> de forma direta. Neste método, não há a
> necessidade de se conhecer as
> fórmulas das somas das potências com expoente
> de 1 até (k - 1)
> 
> 
> DEDUÇÃO POSSÍVEL:
> 
> 	Seja S[n] o polinômio que representa a soma
> dos quadrados dos n
> primeiros inteiros positivos, então podemos
> concluir que:
> S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2
> (i)
> 
> Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3,
> uma vez que na diferença S[n]
> - S[n - 1] os termos de maior grau dos
> polinômios vão ser cancelados. Sendo
> assim, podemos escrever:
> S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d
> O termo independente é 0, uma vez que S[0] não
> possui termos. Portanto, d =
> 0.
> S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii)
> 
> Substituindo a (ii) na (i):
> a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2
> - c.(n - 1) = n^2
> 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2
> 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2
> 
> Pela identidade de polinômios, devemos ter:
> 3a = 1 <=> a = 1/3
> 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2
> a - b + c = 0 <=> 1/3 - 1/2 + c = 0 <=> c = 1/6
> 
> Substituindo a, b e c no polinômio (ii):
> S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6
> 
> Fatorando:
> S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6
> S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6
> 
> S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6
> 
> Para o caso particular do problema apresentado,
> teremos:
> S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385
> 
> 
> Atenciosamente,
> 
> Rogério Moraes de Carvalho
> ________________________________________
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of DEOLIVEIRASOU@aol.com
> Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: [obm-l] Soma...
> 
> Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2?
> Usei para resolver esse problema a identidade
> (x+1)^3. Com efeito,
> 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1
> 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1
>
------------------------------------------------------
> 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando
> convenientemente
> 3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha
> pergunta é: Existe um modo mais
> fácil de se achar soma de quadrados perfeitos??
>           Quem souber e puder responder, deixo
> meu agradecimento.
>                    Crom
> 
> 
> 
>
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