Oi, Artur:
Eu estou no Rio e longe dos meus livros. Por isso pergunto:
Qual a definição de derivada direcional?
Eu me lembro de ter visto isso em Cálculo III mas foi no século passado...
Por acaso a derivada direcional da função f (definida num subconjunto aberto do R^n) no ponto x_0 e na direção do vetor v é igual a:
Dv(f)(x_0) =lim(t -> 0) (f(x_0 + t*v)- f(x_0))/t (t real)?
Em caso afirmativo, v precisa ser um vetor unitário?
Eu pergunto porque se v for um vetor da base canônica do R^n (digamos o i-esimo: e_i), acho que o limite acima será igual à derivada parcial de f em relação a i-ésima variável independente. Daí, talvez seja só uma questão de expressar v em função dos vetores da base canônica.
Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais).
Então, um pouquinho de álgebra resulta em:
(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t =
a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f(x_0))/(tb).
Fazendo t -> 0, teremos que:
Dv(f)(x_0) = a*(df/dx)(x_0) + b*(df/dy)(x_0) ==>
Dv(f)(x_0) = < grad(f)(x_0) , v > = produto interno usual de grad(f) no ponto x_0 e v.
Se tudo acima estiver certo, então a existência das derivadas parciais no aberto implica a existência das derivadas direcionais.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 5 May 2004 18:08:13 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l] derivadas parciais |
>
> > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e
> > forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas
> > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu
> > estou tentando provar isso, mas não estou certo.
>
> >>Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho
> >>tão interessante; vou pensar.
>
> Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um
> tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas escrito
> numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma razao
> obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais
> dificil de se entender.
> Artur
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