Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Para provar isto, acho que podemos fazer o seguinte. De modo a facilitar,
consideremos uma funcao de U em R, sendo U um aberto de R^2 contendo (0,0).
Para todos (u,v) em U temos que f(u,v) - f(0,0) = f(u,v) - f(u,0) + f(u,0)
-f(0,0). Como as derivadas parciais de f existem em U, podemos aplicar o
teorema do valor medio, caso unidimensional, aa restricao de f ao segmento
que une (u,0) a (u,v), obtendo um ponto y neste segmento tal que f(u,v) -
f(u,0) = v*f_2(y), sendo f_2 a derivada parcial de f com relacao a x_2. Faca
algo similar com relacao aa diferenca f(u,0) - f(0,0). Observe que existe um
M>0 tal que, para todo x em U, ||f_1(x)|| <=M e  ||f_2(x)|| <=M. Considere a
desigualdade do triangulo e veja o que acontece com ||f(u,v) - f(0,0)||
quando (u,v) -> (0,0). 

Tambem interesante eh provar o seguinte fato que, ao que me parece, naum eh
muito conhecido: Uma condicao suficiente para que f:R^n -> R seja
diferenciavel em um ponto interior x de seu dominio eh que uma das derivadas
parciais de f exista em x e que todas outras existam e sejam continuas em
uma vizinhanca de x. (Esta condicao naum eh necessaria)
Quando n>=2, dizemos que f eh diferenciavel em x se existir uma funcao
linear L:R^n -> R tal que, para todo h tal que x+h fique no dominio de f,
tenhamos f(x+a) - f(x) = L(h) + o(||h||), onde o eh uma funcao tal que
o(h)/||h|| ->0 quando ||h|| -> 0. A funcao L (que depende de x) eh a
derivada de f em x. No caso unidimensional, a derivada de f em x, caso
exista, seria, segundo esta definicao, a funcao que a cada u associa o
numero real f'(x)* u. Mas aih eh muito mais simples e conveniente ver f'(x)
naum como uma funcao mas como um numero real.
Artur    
 

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De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao
Data: 05/05/04 19:52


Claúdio

Achei a idéia muito boa e eu não consegui achar erros. Agora, graças a vc, 
vou tentar provar o caso geral ao qual já me referi: Se f possui derivadas 
parciais limitadas num aberto qualquer ela é contínua.

Valeu...

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