Re: [obm-l] derivadas parciais

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 03.05.04 15:07, Eduardo Cabral at eduardo_cabral9@hotmail.com wrote:

> 
> Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= M
> (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao
> modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes a U.
> 
> Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei outro
> dia.
> 
> Muito obrigado
> 
Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U.

Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m)
pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que:
f(y) - f(x) = <grad(f)(c),y - x> = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i).
onde:
grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c;
f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c.

Como U eh convexo, c pertence a U.
Logo, |f_i(c)| <= M.

Assim, teremos:
|f(y) - f(x)| = 
|SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <=
SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <=
SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| =
M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| =
M*norma da soma de (x - y)


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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