Re: [obm-l] Esta funcao eh continua

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudastabel@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@yahoo.com>
> Boa noite
>
> Naquele problema sobre a funcao logaritmica, acabei
> chagando aa conclusao que, se f eh uniformemente
> continua nos racionais (ou, de modo mais geral, em um
> conjunto denso em R) e monotonica em todo o R, entao f
> eh continua em R.
> E se relaxarmos continuidade uniforme e assumirmos
> apenas continuidade? A conclusao permanece valida?
> Naum cheguei a uma conclusao ainda.
> Artur

Oi Artur.

Depois de semanas sem tempo para relaxar, estou tendo um dia de folga e é
com prazer que leio e repondo algumas mensagens desta nossa querida lista de
discussão. Que saudades!

Se X é denso em Y, tratando-se de espaços métricos, e uma função f  de X em
R é uniformemente contínua (não precisa da hipótese de monotonicidade), ela
pode ser estendida a uma função F de Y em R ainda uniformemente contínua,
com F|X = f.

Se f é uniformemente contínua, leva seqüências de Cauchy em seqüências de
Cauchy (isto não vale se f é só contínua), e daí você estende f num ponto
"a" FORA de X, em Y, como o limite de f numa seqüência de Cauchy em X
qualquer cujo limite é "a". Em seguida, mostra que F assim obtida está bem
definida: se (x_n) e (y_n) são de Cauchy em X com limite em a, então a
seqüência (z_n) = (x_1,y_1,x_2,y_2,...) é de Cauchy e logo (f(z_n)) é de
Cauchy, o que mostra que os limites de (f(x_n)) e de (f(y_n)), ambas
subseqüências de (f(z_n)), é o mesmo. Por fim, demonstra ser F uniformemente
contínua: dado e > 0 existe d > 0 para a uniformidade contínua de f; se a e
b estão em Y e (x_n) e (y_n) em X tem limites a e b, respectivamente, e
d(a,b) < d então existe N tal que d(x_n,y_n) < d se n > N donde se conclui
que d(f(x_n),f(y_n)) < e e o limite d(f(a),f(b) <= e.

A conclusão não valeria se f fosse só contínua. Vide o exemplo de f : (0 ,
1] --> R, f(x) = 1/x. Ela não pode ser estendida continuamente a todo [0 ,
1].

Abraço,
Duda.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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