[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] envoltória convexa e conjuntos compactos

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudastabel@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Cláudio (Prática)" <claudio@praticacorretora.com.br>
> >
> > Se X eh um conjunto qualquer de objetos e definimos uma metrica em X que
> nao
> > o faca completo, eh entao verdade que existe um espaco metrico completo
> > contendo X como subespaco?
> >
> > Artur
> >
> Bom, isso eu já não sei dizer porque topologia não é nem de longe a minha
> praia, mas me parece que se tornarmos Q (corpo dos racionais) um espaço
> métrico com a distância usual d(x,y) = |x - y|, a existência de um espaço
> métrico completo que o contenha só é estabelecida por meio do axioma do
> supremo.
>
> No caso geral pode ser que você também tenha que postular a existência de
um
> espaço métrico completo contendo um dado espaço.
>
> De qualquer jeito, acho melhor esperar pela resposta de alguém mais
> gabaritado...
>
> []s,
> Claudio.

Oi Cláudio e Artur.

Na verdade, esta é uma questão simples, que está respondida no livro de
Espaços Métricos do Elon, se eu a entendi bem. Dado um espaço métrico geral
X existe um compleTAmento Y de X, que o contém como subespaço métrico (na
verdade é uma copía isométrica de X), que é completo e tal que X é denso em
Y.

A maneira que sei de provar isto é exibir Y, dado um X.

Considere o conjunto das seqüências de Cauchy em X, denotado por S. (Lembra
o que é seqüência de Cauchy? Uma seqüência (x_n) em X é de Cauchy se para
todo e > 0 existe N tal que d(x_n,x_m) < e se n, m > N). Defina então uma
relação de equivalência em S:

(x_n) ~ (y_n) :== lim d(x_n,y_n) = 0

Ou seja, duas seqüências de Cauchy são equivalentes se elas se confundem no
infinito ou os seus termos gerais se tornam arbitrariamente próximos. Para
finalizar tome o conjunto quociente Y = S/~, definindo distância de duas
classes de seqüências de Cauchy [(x_n)] e [(y_n)] como:

D( [(x_n)], [(y_n)] ) = lim d(x_n, y_n) (é preciso mostrar que D está bem
definida, i.e., independe da escolha (x_n) e (y_n) nas suas classes de
eqüivalência)

Fica como exercício mostrar que X pode ser imerso naturalmente em Y, (cada x
em X é levado na classe da seqüência constante (x) em Y) e que Y é completo
e X é denso em Y. Não é difícil, asseguro.

Abração,
Duda.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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