Re: [obm-l] Inequação trabalhosa - Ajudem-me!

[Maurizio <mauz_c@xxxxxxxxxxxx>]

Cláudio
Achei interessante sua resolução... Mas gostaria de ver por
fatoração,
tem técnicas de desigualdades que estão um pouco acima do que eu sei
fazer... Por isso recorri à lista
Gostaria de ver uma resolução diferente se possível

Obrigado

At 19:07 28/4/2004, you wrote:

E tudo na base da ignorancia!

Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

on 28.04.04 15:43, Maurizio at mauz_c@terra.com.br wrote:

> Tou tentando esse problema a um certo tempo e não consegui ainda:

>

> (=> é maior ou igual a)

>

> Prove que:

>

> 4x(x+y)(x+z)(x+y+z)+y^2z^2 => 0

>

Repare que o lado esquerdo eh um polinomio de 4o. grau em x, digamos f(x).

Alem disso, para x = 0, -y, -z, -(y+z), f(x) = y^2z^2 = (yz)^2.

Ou seja, f(x) eh quadrado para 4 valores "distintos" de x. Isso nao garante

que f(x) seja um quadrado, mas decididamente vale a pena investigar a

possibilidade. Expandindo, obtemos:

f(x) = 4x^4 + 8(y+z)x^3 + 4((y+z)^2+yz)x^2 + 4yz(y+z)x + y^2z^2.

Do que isso pode ser o quadrado?

O primeiro termo e o ultimo termo indicam que devemos tentar algo da forma:

f(x) = (2x^2 + (ay+bz)x + yz)^2

O termo em x disso ai eh igual a 2yz(ay+bz)! x, que deve ser igual a 4yz(y+z).

Isso indica que a = b = 2.

Testando, vemos que, de fato, f(x) = (2x^2 + 2(y+z)x + yz)^2, que eh sempre

nao negativo.

Veja que essa nao foi a solucao mais inteligente do mundo, mas na hora duma

prova, nao dah pra ficar esperando a inspiracao surgir...

[]s,

Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

=========================================================================.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE

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