Re: [obm-l] Convergencia pontual

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

> Uma correcao: o teorema se aplica a funcoes de um
> espaco topologico em R, acho que nao eh valido se o
> contradominio for um espaco metrico geral. Mas no
> seu
> caso o contradominio eh de fato R. 
> 

Se X e Y sao espacos metricos e f e uma funcao de X em
Y, entao o conjunto das descontinuidades de f eh, em
qualquer caso, F-sigma (e o das conmtinuidades eh,
portanto, G-delta). Sendo D o conjunto das
descontinuidades, sempre temos que D = Uniao (i=1,
inf) Dn, onde Dn eh o conjunto dos elementos de X nos
quais f apresenta oscilacao >1/n. Podemos definir a
oscilacao de f em um subconjunto V de X por  w{V) =
supremo{Dy(f(u),f(v)} | u e v estao em X}, Dy a
distancia definida em Y. Assim, w(V) eh o diametro de
f(V). E podemos definir a oscilacao de f em um
elemento x de X por W(x) = infimo{w(B_r) | r>0}, sendo
B_r a bola aberta de centro em x e raio r. Entao, f eh
continua em x sse W(x) =0 e o conjunto de suas
descontinuidades eh o F_sigma citado acima. 

O que eu naum sei e se no caso geral o conjunto das
descontinuidades eh magro (1a categoria, na
classificacao de baire). Se Y=R, entao ele eh de fato
um conjunto magro de  X.

Artur 


	
		
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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