Re: [obm-l] outro problema de probabilidade, onde errei?

["Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2] = 
1-P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } >= 1/2]=
1-P[{ max{X[11],X[12]}e max{X[21],X[22]} } >= 1/2]=
= 1- P[{ max{X[11],X[12]} >= 1/2]^2 

Calculemos P[{ max{X[11],X[12]} >= 1/2]= 1-P[{ max{X[11],X[12]} <= 1/2]=
1-P[X[11]e X[12] >= 1/2] = 1- P[X[11]>=1/2]^2 = 1-(1/4) = 3/4

A resposta é 1-(9/16) = 7/16
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---------- Original Message -----------
From: niski <fabio@niski.com>
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thu, 22 Apr 2004 20:36:40 -0300
Subject: [obm-l] outro problema de probabilidade, onde errei?

> Notação: X[a] lê-se "X indice a"
>           U[0,1] distribuicao uniforme no intervalo [0,1]
> 
> Sejam (X[ij], i,j = 1,2) variaveis aleatorias independentes 
> identicamente distribuidas, X[ij] ~ U[0,1].
> Calcular
> P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2]
> 
> Para facilitar, vou chamar min{max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]}} 
> de M.
> (e X11 estará subentendido que é X[11])
> 
> Bom pessoal, eu pensei que a probabilidade pedida pode ser calculada 
> da seguinte maneira:
> 
> P[M = X11 e X11 <= 1/2] ou P[M = X12 e X12 <= 1/2]  ou
> P[M = X21 e X21 <= 1/2] ou P[M = X22 e X22 <= 1/2]
> 
> Pela simetria, as 4 probabilidades são iguais
> Entao basta calcular
> 4*P[M = X11 e X11 <= 1/2]
> 
> Bom mas o evento M = X11 é equivalente a:
> X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}
> 
> Então
> 
> 4*P[M = X11 e X11 <= 1/2] =
> 4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2] (I)
> 
> Bom ai que eu nao estou certo do que posso fazer.
> Para mim
> P[X11 = max{X11,X12}] = 1/2       (i)
> P[X11 =  max{X11,X21,X22}] = 2/6  (ii)
> P[X11 <= 1/2] = 1/2               (iii)
> 
> E eu não sei se desmembro ou a expressao (I) por Bayes.
> 
> Ao que parece os eventos
> (X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2
> não sao independentes enquanto
> (X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) me parecem ser.
> 
> Mas eu nao sei provar. Bom se isso for verdade, por Bayes:
> 
> 4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22})|X11 <=1/2]*P[X11<=1/2]
> Mas com a condicao X11 <= 1/2 como ficam (i), (ii) e (iii) ?
> Como acabar o exercicio?
> 
> Muito obrigado
> -- 
> Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
> 
> [upon losing the use of his right eye]
> "Now I will have less distraction"
> Leonhard Euler
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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