[obm-l] outro problema de probabilidade, onde errei?

[niski <fabio@xxxxxxxxx>]

Notação: X[a] lê-se "X indice a"
          U[0,1] distribuicao uniforme no intervalo [0,1]

Sejam (X[ij], i,j = 1,2) variaveis aleatorias independentes 
identicamente distribuidas, X[ij] ~ U[0,1].
Calcular
P[min{ max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]} } <= 1/2]

Para facilitar, vou chamar min{max{X[11],X[12]}, max{X[21],X[22]}} de M.
(e X11 estará subentendido que é X[11])

Bom pessoal, eu pensei que a probabilidade pedida pode ser calculada da 
seguinte maneira:

P[M = X11 e X11 <= 1/2] ou P[M = X12 e X12 <= 1/2]  ou
P[M = X21 e X21 <= 1/2] ou P[M = X22 e X22 <= 1/2]

Pela simetria, as 4 probabilidades são iguais
Entao basta calcular
4*P[M = X11 e X11 <= 1/2]

Bom mas o evento M = X11 é equivalente a:
X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}

Então

4*P[M = X11 e X11 <= 1/2] =
4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2] (I)

Bom ai que eu nao estou certo do que posso fazer.
Para mim
P[X11 = max{X11,X12}] = 1/2       (i)
P[X11 =  max{X11,X21,X22}] = 2/6  (ii)
P[X11 <= 1/2] = 1/2               (iii)

E eu não sei se desmembro ou a expressao (I) por Bayes.

Ao que parece os eventos
(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) e X11 <= 1/2
não sao independentes enquanto
(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22}) me parecem ser.

Mas eu nao sei provar. Bom se isso for verdade, por Bayes:

4*P[(X11 = max{X11,X12} e X11 = max{X11,X21,X22})|X11 <=1/2]*P[X11<=1/2]
Mas com a condicao X11 <= 1/2 como ficam (i), (ii) e (iii) ?
Como acabar o exercicio?

Muito obrigado
-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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