[obm-l] Numero de Lebesgue

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi pessoal!

Gostaria da opinião de alguém sobre esta prova para um
fato bem conhecido, mas que é um tanto diferente
(talvez mais simples) da que eu conheco.

Se toda sequencia de um espaco métrico X contiver uma
subsequencia convergente, entao toda cobertura aberta
de X tem um numero de Lebesgue. (Se C eh uma cobertura
de A, dizemos que L eh um numero de Lebesgue associado
a C se, para todo x de X, a bola aberta de centro em X
e raio L estiver contida em algum membro de C).

Seja D a metrica de X e suponhamos, por contraposicao,
que alguma cobertura aberta G de X naum tenha numero
de Lebesgue. Para todo d>0, existe entao x em X tal
que B(x,d), a bola aberta centrada em x e raio d, naum
esta contida em nenhum dos membros de G. Aplicando
esta condicao para os naturais fazendo em cada caso d
=1/n, obtemos uma sequencia {x_n} em X tal que, para
cada n, B(x_n, 1/n) naum estah contida em nenhum
membro de G.
Fixemos um u em X. Entao u pertence a algum Ga de G e,
pela construcao de {x_n}, nenhuma B(x_n, 1/n) estah
contida em Ga. Logo, para cada n existe um y_n em X
tal que (1) y_n pertence a B(x_n, 1/n) e (2) y_n naum
pertence a Ga. Como 1/n ->0, segue-se imediatamente
que (3) {D(x_n, y_n)} e, portanto, todas as suas
subsequencias, tendem para 0; e, de (2), segue-se que
nenhuma subsequencia de y_n pode convergir para u
(pois Ga eh uma vizinhanca de u). Deduzimos entao que
nenhuma subsequencia {x_n_k} de {x_n} pode convegir
para u, pois, de outra forma, (3) implicaria
automaticamente que o mesmo se verificasse para
{y_n_k}, contrariamente a (2).
Como u eh um elemento arbitrario de X, concluimos que
nenhuma subsequencia de {x_n} eh convergente, ficando
assim provada a contrapositiva da prposicao e,
portanto, a proproa proposicao. 

A proposicao aqui provada eh frequentemente invocada
para provar que, se toda sequencia de X contiver uma
subsequencia convergente, entao X eh compacto. 

Artur 


	
		
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