[obm-l] f''(t) + (f'(t))^2 -> -infinito

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: f''(t) + (f'(t))^2 -> -infinito

on 13.04.04 17:39, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:

> Pessoal será que  alguém pode me ajudar no problema abaixo ?  
>
> Construir uma função f  de classe  C^1  definida no intervalo  [  0 ,  infinito )   e tal que  w(t) =  (derivada segunda de f(t) )  +   ( derivada  primeira de f(t) ) ^ 2    tende  a  menos infinito quando t  tende a mais infinito  
>
> Abs.   
>
>
> Oi, Danilo:
>
> Ainda nao consegui achar uma funcao que satisfaca ao enunciado, mas achei uma que chega perto:
>
> f : [0,+infinito) -> R, definida por:
> f(0) = 0;
> f(t) = sen(t^2)/t  se t > 0
>
> f eh continua em t = 0.
>
> Para t > 0, (f(t) - f(0))/(t - 0) = sen(t^2)/t^2 ==>
> f'(0+) = lim(t -> 0+) (f(t) - f(0))/(t - 0) = 1
>
> Alem disso, se t > 0, f'(t) = 2*cos(t^2) - sen(t^2)/t^2  ==>
> lim(t -> 0) f'(t) = 1 ==>
> f' eh continua para t >= 0 ==>
> f eh de classe C^1.
>
> t > 0 ==> f''(t) = -4*t*sen(t^2) -  2*cos(t^2)/t + 2*sen(t^2)/t^3
>
> Assim, vemos que f'(t) eh limitada e que f''(t) atinge valores arbitrariamente pequenos (ou seja, negativos e de modulo arbitrariamente grande). Logo, f''(t) + (f'(t))^2 tambem atinge valores arbitrariamente pequenos, apesar de nao tender a -infinito quando t tende a +infinito pois sen(t^2) se anula para infinitos valores de t (mais precisamnte, para todo t da forma raiz(k*Pi), com k inteiro positivo).
>
>
> []s,
> Claudio.