Re: [obm-l] f''(t) + (f'(t))^2 -> -infinito

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Acho que nao da' nao. Nao existe nem uma funcao g (nesse caso g=f')
derivavel de [0,infinito) em R com g'(t)+(g(t))^2 < -1 para todo t grande:
nesse caso teriamos g'(t) < -1 para todo t grande, donde g(t) tende a
-infinito quando t-> infinito, e logo, para t grande, g(t) e' negativo,
mas tambem teriamos g'(t)/g(t)^2 < -1 para todo t grande,
ou seja, (1/g(t))' > 1, donde 1/g(t) deve tender a +infinito, absurdo.
E' claro que podemos trocar -1 por qualquer coisa negativa...
   Abracos,
            Gugu

>
>on 13.04.04 17:39, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:
>
>
>Pessoal ser=E1 que  algu=E9m pode me ajudar no problema abaixo ?
>
>Construir uma fun=E7=E3o f  de classe  C^1  definida no intervalo  [  0 ,
>infinito )   e tal que  w(t) =3D  (derivada segunda de f(t) )  +   ( derivada
>primeira de f(t) ) ^ 2    tende  a  menos infinito quando t  tende a mais
>infinito =20
>
>Abs.  =20
>
>
>Oi, Danilo:
>
>Ainda nao consegui achar uma funcao que satisfaca ao enunciado, mas achei
>uma que chega perto:
>
>f : [0,+infinito) -> R, definida por:
>f(0) =3D 0;
>f(t) =3D sen(t^2)/t  se t > 0
>
>f eh continua em t =3D 0.
>
>Para t > 0, (f(t) - f(0))/(t - 0) =3D sen(t^2)/t^2 =3D=3D>
>f'(0+) =3D lim(t -> 0+) (f(t) - f(0))/(t - 0) =3D 1
>
>Alem disso, se t > 0, f'(t) =3D 2*cos(t^2) - sen(t^2)/t^2  =3D=3D>
>lim(t -> 0) f'(t) =3D 1 =3D=3D>
>f' eh continua para t >=3D 0 =3D=3D>
>f eh de classe C^1.
>
>t > 0 =3D=3D> f''(t) =3D -4*t*sen(t^2) -  2*cos(t^2)/t + 2*sen(t^2)/t^3
>
>Assim, vemos que f'(t) eh limitada e que f''(t) atinge valores
>arbitrariamente pequenos (ou seja, negativos e de modulo arbitrariamente
>grande). Logo, f''(t) + (f'(t))^2 tambem atinge valores arbitrariamente
>pequenos, apesar de nao tender a -infinito quando t tende a +infinito pois
>sen(t^2) se anula para infinitos valores de t (mais precisamnte, para todo =
>t
>da forma raiz(k*Pi), com k inteiro positivo).
>
>
>[]s,
>Claudio.
>
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================