Re: [obm-l] Somatorios de k^6 e de k^8

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Mar 31, 2004 at 12:10:11AM -0300, Rafael wrote:
> É verdade, Nicolau, para o proposto, não houve qualquer erro. Entretanto,
> lendo com mais atenção, surgiram-me duas perguntas:
> 
> 1) Qual é a "vantagem" de se calcular a soma até n (exclusive)?

Os números de Bernoulli usuais são os que aparecem na minha outra mensagem.
Ou seja, a fórmula fica mais coerente com a definição usual de B_n
com a soma até n *exclusive*.

A fórmula fica mais simples mesmo se tomarmos 

f_m(n) = (0^m + 2*1^m + 2*2^m + ... + 2*(n-1)^m + n^m)/2

Neste caso o polinômio fica sendo par ou ímpar dependendo 
se n for ímpar ou par, respectivamente.
 
> 2) Sobre a definição proposta: S_m(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m, em sua
> mensagem anterior, é considerado que S_0(n) = n. Isso só é verdade, de
> acordo com a definição, se 0^0 = 1, o que é uma convenção. Lembro-me de já
> ter lido que nem sempre é possível afirmar isso, ou melhor, que somente uma
> função analítica permite a conclusão, em geral, de que 0^0 = 1. O mesmo
> seria válido para: 0/0, 0*oo, oo/oo, 1^oo, oo - oo. Você poderia explicar e
> dar detalhes sobre isso?

Você pode dizer que 0^0 = 1 é uma convenção, como você pode dizer que 0! = 1
é uma convenção. Para mim não é não, é um caso particular tanto da definição
combinatória de a^b para a e b naturais (a^b é o número de funções de B em A
onde |A| = a e |B| = b) quanto da definição recursiva (a^0 = 1,
a^(b+1) = a*(a^b)). Mas o fato é que 0^0 = 1 é uma "convenção" universal,
tanto quanto eu saiba.

Você parece estar falando em limites em parte do seu texto. Não é verdade
que se lim_{x -> 0} f(x) = 0 e lim_{x -> 0} g(x) = 0 então sempre
lim_{x -> 0} ((f(x))^(g(x))) = 1, nem se f e g forem analíticas.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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