[obm-l] RE: [obm-l] exercício elon ( explicacao )

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Bruno e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Esta Lista de Discussao foi originalmente concebida para discutirmos 
problemas de Matematica
Olimpica e, portanto, na mensagem abaixo, eu fugi a este objetivo original, 
nao obstante muitas
outras mensagens tambem tenham esta caracteristica.

Entretanto, tudo que ha ali ( na mensagem abaixo ) e bastante elementar e a 
imensa maioria da
nossa plateia deve entender sem dificuldade. Senao :

R^n = e o produto cartesiano : RxRxRx...xR ( N vezes ), isto e, R^n e o 
conjunto de todas as
N-uplas ordenadas. X e um sub-conjunto de R^n.

Bola(x,e) = conjunto de todos os "y" pertencentes a R^n tais que a distancia 
de cada um deles
a "x" e menor que "e"(epsilon). Aqui, "distancia", e uma medida da separacao 
entre os pontos.
A distancia usual entre dois pontos na geometria analitica e uma "distancia" 
valida, chamada
distancia euclidiana. Mas existem diversas maneiras de definir distancia, de 
acordo com o contexto
no qual estamos trabalhando.

O que e importante e que para os objetivos da analise, qualquer duas 
distancia derivadas de
uma norma sao equivalentes, vale dizer, levam aos mesmos resultados em 
termos de limites. Assim,
qualquer norma pode ser usada.

Conjunto Convexo : Uma figura e convexa quando o segmento que liga dois 
pontos quaisquer
dela esta inteiramente contido na figura. Exatamente este conceito que foi 
usado aqui. Para
ver isso claramente, sejam A e B de R^2, considere os pontos do segmento que 
liga A com B.
Usando geometria, verifique que vai existir um t, 0 =< t =< 1, tal que  :

t*A + (1-t)*B  e o ponto do segmento.

Assim, conjunto convexo e so uma generalizacao da ideia que voces tem de 
figura convexa. Nada
alem disso : Palavras dificeis pra coisas simples ! Em verdade, isto pode 
ate ser generalizado :

Seja A um conjunto convexo, isto e, o segmento que liga dois pontos de A 
esta inteiramente
contido em A. Se a1, a2, ..., an sao reais nao negativos e a1 + a2 + ... + 
a2 = 1 entao
a1*A1 + a2*A2 + ... + an*An esta em A para quaisquer A1, A2, ..., An de A.

Bom, estou dando estas rapidas explicacoes em respeito a nossa plateia de 1 
e 2 graus. Espero que elas tenham deixado claro os conceitos usados abaixo.

Um abracao a todos
Paulo Santa Rita
7,2038,200304

>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] RE: [obm-l] exercício elon
>Date: Sat, 20 Mar 2004 22:57:15 +0000
>
>Ola Bruno,
>
>O seu problema e uma boa distracao.
>
>Se "a" e "b"  estao em uma mesma bola entao, usando o fato de que toda bola 
>e um conjunto
>convexo ( independente da norma usada na definicao de distancia ! ) segue 
>que o segmento que
>liga "a" com "b" esta inteiramente contido na bola e, portanto, tambem 
>pertence a uniao de
>todas as bolas.
>
>O caso menos trivial e o seguinte :
>
>Sejam "a" e "b" dois elementos quaisquer da uniao, isto e, "a" e "b" 
>pertencem a B(X,e). Segue
>que "a" esta em alguma bola Bi(c1,e) e "b" esta em alguma bola Bj(c2,e). 
>Dai :
>
>norma(a - c1) < e
>norma(b - c2) < e
>
>Mas segue tambem que para qualquer 0 =< t =< 1 teremos :
>
>t*norma(a - c1) < t*e
>(1-t)*norma(b - c2) < (1-t)*e
>
>Logo : noma(t*a - t*c1) + norma((1-t)*b - (1-t)*c2) < t*e + (1-t)*e = e
>e usando a desigualdade triangular ( valida em qualquer norma ) :
>
>norma( ( t*a + (1-t)*b ) - (t*c1 + (1-t)*c2) ) < e
>
>E isto indica que um ponto arbitrario do segmento que liga "a" e "b" ( t*a 
>+ (1-t)*b ) esta a
>uma distancia MENOR QUE "e" de um  ponto do segmento que liga "c1" a "c2" ( 
>t*c1 + (1-t)*c2).
>Ora, X e convexo, logo, todo ponto do segmento que liga C1 a C2 esta em X 
>e, portanto, e
>centro de uma bola de raio "e". Logo, todo ponto do segmento que liga "a" e 
>"b"  esta numa
>bola de raio "e" e, portanto, esta na uniao das bolas, logo a uniao da 
>bolas e convexo.
>
>Um Abraco
>Paulo Santa Rita
>7,1900,200304
>
>>From: bruno souza <bruno9812000@yahoo.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: [obm-l] exercício elon
>>Date: Sat, 20 Mar 2004 18:33:36 -0300 (ART)
>>Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em 
>>alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que 
>>espero ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
>>Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x 
>>pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.
>>
>>Obrigado
>
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