[obm-l] RE: [obm-l] exercício elon

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Bruno,

O seu problema e uma boa distracao.

Se "a" e "b"  estao em uma mesma bola entao, usando o fato de que toda bola 
e um conjunto
convexo ( independente da norma usada na definicao de distancia ! ) segue 
que o segmento que
liga "a" com "b" esta inteiramente contido na bola e, portanto, tambem 
pertence a uniao de
todas as bolas.

O caso menos trivial e o seguinte :

Sejam "a" e "b" dois elementos quaisquer da uniao, isto e, "a" e "b" 
pertencem a B(X,e). Segue
que "a" esta em alguma bola Bi(c1,e) e "b" esta em alguma bola Bj(c2,e). Dai 
:

norma(a - c1) < e
norma(b - c2) < e

Mas segue tambem que para qualquer 0 =< t =< 1 teremos :

t*norma(a - c1) < t*e
(1-t)*norma(b - c2) < (1-t)*e

Logo : noma(t*a - t*c1) + norma((1-t)*b - (1-t)*c2) < t*e + (1-t)*e = e
e usando a desigualdade triangular ( valida em qualquer norma ) :

norma( ( t*a + (1-t)*b ) - (t*c1 + (1-t)*c2) ) < e

E isto indica que um ponto arbitrario do segmento que liga "a" e "b" ( t*a + 
(1-t)*b ) esta a
uma distancia MENOR QUE "e" de um  ponto do segmento que liga "c1" a "c2" ( 
t*c1 + (1-t)*c2).
Ora, X e convexo, logo, todo ponto do segmento que liga C1 a C2 esta em X e, 
portanto, e
centro de uma bola de raio "e". Logo, todo ponto do segmento que liga "a" e 
"b"  esta numa
bola de raio "e" e, portanto, esta na uniao das bolas, logo a uniao da bolas 
e convexo.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
7,1900,200304

>From: bruno souza <bruno9812000@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] exercício elon
>Date: Sat, 20 Mar 2004 18:33:36 -0300 (ART)
>Estou escrevendo pela primeira vez. Espero futuramente poder ajudar em 
>alguma coisa. Mas no momento estou enviando um exercício do elon que espero 
>ser pertinente e o qual não consegui resolver sozinho: Provar que
>Dados X contido em R^n, e>0. Seja B(X;e) a reunião das bolas B(x;e), com x 
>pertencente a X. Se X é convexo então B(X;e) é Convexo.
>
>Obrigado

_________________________________________________________________
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================