RE: [obm-l] Compacidade

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

-----Original Message-----
Oi tertuliano, vou tentar resolver o (3)

3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto compacto do R^n, f : X x K em
R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em X, exista um único y em K
tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente de x.
 
Seja g:X->K a funcao que a cada x de X associa y de K tal que f(x,y) = c. As
condicoes dadas garantem a existencia desta funcao. Fixemos um x em K e seja
(x_n) uma sequencia de X que convirja para x. Mostraremos que (g(x_n))
converge para g(x), condicao que garante a continuidade de g em x.
Em X x K, consideremos a sequencia (x_n, y_n) na qual y_n = g(x_n). Temos
entao que (f(x_n, y_n)) = (c) eh uma sequencia constante em R^p.
Como K eh compacto, (y_n) contem subsequencias convergentes. Seja (y_n_k)
uma destas subsequencias e seja y, y em K, o seu limite. Logo, (x_n_k,
y_n_k) converge para (x,y) em X x K. Da continuidade de f em X x K, segue-se
que (f(x_n_k, y_n_k)) converge em R^p para f(x,y). Por construcao, (f(x_n_k,
y_n_k)) eh uma sequencia constante, com todos os termos iguais a c. Logo,
f(x_n_k, y_n_k))converge para c, do que concluimos, pela unicidade do limite
de sequencias, que f(x,y) = c. Temos entao que y = g(x) e, como existe um
unico g(x), concluimos que todas as subsequencias convergentes de (y_n) tem
o mesmo limite y = g(x). Mas como K eh compacto, K eh limitado, o que
implica que todas as suas sequencias - logo (y_n) - sejam limitadas.
Concluimos assim que (y_n) eh uma sequencia limitada tal que todas as suas
sequencias convergentes apresentam o mesmo limite y = g(x). Conforme sabemos
da Analise, esta condicao acarreta que a propria (y_n) convirja para y =
g(x).
Conclusao: Para toda sequencia (x_n) em X que convirja para x, a sequencia
(y_n) = (g(x_n)) converge para y = g(x). Logo, g eh continua em x e, como
isto se aplica a todo x de X, a  a proposicao fica demonstrada.

Artur

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