RE: [obm-l] Compacidade

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Oi Tertuliano,
O problema 3 de sua segunda mensagem

> 3) Sejam X subconjunto do R^m, K subconjunto
> compacto do R^n, f : X x K em
> R^p contínua e c em R^p. Suponha q, para cada x em
> X, exista um único y em K
> tq f(x,y) = c. Prove q esse y depende continuamente
> de x.

pode tambem ser resolvido com base no conceito de
grafico de uma funcao. Se X e K sao espacos metricos,
entao o grafico de g:X->K eh o subconjunto de X x K
dada por G = ((x,y) em X x Y : y = g(x)}. Se em X x K
considerarmos a distancia entre (x,y) e (u,v) dada por
D((x,y),(u,v)) = [D1(x,u)^2 + D2(y,v)^2]^(1/2), 
onde D1 e D2 sao as metricas em X e e em K, entao hah
um teorema que diz:

Se g:X->K for continua, entao G eh um subconjunto
fechado de X x K. Se fizermos a hipotese adicional de
K seja compacto, entao a reciproca eh verdadeira.
Na prova que eu dei na oputra mensagem, eu acabei
demonstrando esta reciproca. 

Voltando ao problema 3, temos que existe uma funcao g
que, a cada x de X, associa y em K tal que f(x,y) =c.
Temos tambem que {c} eh um subconjunto fechado de R^p.
A continuidade de f em X x K acarreta, portanto, que o
conjunto G = {(x,y) em X x K : f(x,y) = c}, a imagem
inversa sob f de {c}, seja fechado em X x K. Das 
definicoes de g e do conceito de grafico de uma
funcao, segue-se G eh o grafico de g. Como G eh
fechado e K eh compacto, segue-se do teorema citado
que g eh continua em X, ficando assim demonstrada a
sua proposicao. Observe que a mesma permanece
verdadeira e X, K forem espacos metricos quaisquer e a
funcao f tiver valores em um espaco metrico generico
Y.   

Artur

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