Re: [obm-l] Subcorpos nao-enumeraveis de R

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Mar 18, 2004 at 06:03:51PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Eu me referia ao seguinte problema: dado um conjunto nao enumeravel A de
> reais, decidir se Q[A] = R ou nao.
> 
> Por exemplo, se A eh um intervalo ou o conjunto de Cantor usual, entao Q[A]
> = R. 
> 
> Pro outro caso, eu pensei em Q(D) (D = conjunto dos numeros diofantinos)
> 
> Eu me lembro de voce ter dito uma vez que D tem medida > 0. Logo nao eh
> enumeravel.

Tem medida total, ou seja, o complemento L (Liouville) do conjunto
dos diofantinos tem medida zero.
 
> Se x estah em D, entao existe um inteiro positivo N tal que:
> n > N ==> |p/q - x| > 1/q^n, quaisquer que sejam os inteiros p, q com q > 0.
> 
> Isso quer dizer que todo numero algebrico eh diofantino.
> 
> Me parece razoavel que a soma e o produto de diofantinos seja diofantina e
> que o o inverso de um diofantino tambem o seja.

Não é verdade: todo real é uma soma de dois diofantinos.
De fato, seja x um real. Os conjuntos D e x - D = {x-d, d em D}
têm ambos medida total logo tem interseção não vazia.
Seja y um elemento de D e de x - D. Se escrevermos x = y + z
temos que tanto y quanto z são diofantinos.

Aliás também é verdade que todo número é uma soma
de dois Liouville e a prova é parecida só que em vez de usar
medida usa categoria (no sentido de Baire): o conjunto D é magro.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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