Re: [obm-l] Iezzi de novo...

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.03.04 22:00, Claudio Buffara at claudio.buffara@terra.com.br wrote:

> on 02.07.00 21:53, Rick at rickardorios@yahoo.com.br wrote:
> 
>> Prezado membros,
>> ai vai mais um probleminha do Iezzi.
>> 1) Determinar "m" na equacao do 2 grau "(3m-2)x^2+2mx+3m=0 para que tenha
>> uma unica raiz entre -1 e 0.
>> 
> Minha interpretacao de unica raiz leva em conta multiplicidade.
> Assim, f(x) = 4x^2 - 1 tem uma unica raiz (igual a -1/2) entre -1 e 0.
> Por outro lado, g(x) = 9x^2 + 6x + 1 = (3x+1)^2 tem duas raizes (ambas
> iguais a -1/3) nesse mesmo intervalo.
> 
> Com esta interpretacao, voce consegue ver que para que um polinomio de 2o.
> grau p(x) tenha uma unica raiz estritamente entre -1 e 0, eh necessario e
> suficiente que p(-1)*p(0) < 0? Ou seja, que p(-1) e p(0) tenham sinais
> opostos?
> 
> Nesse caso:
> p(-1) = 3m - 2 - 2m + 3m = 4m - 2
> p(0) = 3m
> 
> Logo: (4m - 2)3m < 0 ==> 12m(m - 1/2) < 0 ==> 0 < m < 1/2.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
Oi, Rick:

Apenas mais um detalhe:
Como o enunciado diz que a equacao eh do 2o. grau, temos que ter certeza de
que o coeficiente de x^2 eh nao nulo.
Assim, devemos ter 3m - 2 <> 0 <==> m <> 2/3.

Nesse caso, POR SORTE a resposta do problema eh a mesma: 0 < m < 1/2.

Mas se a equacao fosse (3m-2)x^2+4mx+3m=0, teriamos:
p(-1) = 2m - 2
p(0) = 3m
E, portanto: 3m(2m - 2) < 0 ==> 6m(m - 1) < 0 ==> 0 < m < 1.
Esta resposta estaria errada, pois precisariamos excluir o caso m = 2/3.

A resposta correta seria: 0 < m < 2/3  ou  2/3 < m < 1.

Agradeco ao Morgado por ter chamado a minha atencao para este ponto.


[]s,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================