Re: [obm-l] sistema decimal e inducao

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Para o problema 1, teremos:

a,b,c pertencem a {0,1,2,3,4,5,6,7}

(64a + 8b + c)*2 = 64c + 8b + a
128a + 16b + 2c = 64c + 8b + a
62c - 8b = 127a

100 < (abc) < 400, logo a = 1 ou 2 ou 3

a = 1 ==> 62c - 8b = 127 ==> não possui soluções inteiras

a = 2 ==> 62c - 8b = 254 ==> b = 7  e  c = 5

a = 3 ==> 62c - 8b = 381 ==> não possui soluções inteiras


Assim, (275) * 2 = (572).


Sobre o problema 2, vamos pensar:

Se n = 2, então uma pessoa cumprimentará outra pessoa e só.

Pela fórmula, 2(2-1)/2 = 1 aperto de mão

Supondo que isso seja verdade para n = p, ou seja, que os apertos de mão
sejam sempre números naturais, provar-se-á que também o será para n = p + 1.

Hipótese: p(p-1)/2 é um número natural
Tese: p(p+1)/2 é um número natural

Seja k um número natural,
p(p-1)/2 = k ==> p(p-1) + 2p - 2p = 2k ==> p(p+1)/2 = k+p

Assim, provou-se pelo PIF que os apertos de mão serão números naturais, pois
k e p, por hipótese, são naturais.

No entanto, vale a pena entender o porquê dessa fórmula. Ela decorre do
Princípio Fundamental da Contagem: na sala há n pessoas que cumprimentarão
(n-1) pessoas, pois ninguém cumprimenta a si mesmo (!!). Como cada aperto de
mão envolve duas pessoas, contamos o dobro dos apertos de mão, então
dividimos por dois: n(n-1)/2.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: Faelccmm@aol.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, March 18, 2004 2:18 AM
Subject: [obm-l] sistema decimal e inducao


Ola pessoal,


Fiquei em duvida nestes 2 problemas:


1) It is impossible to *reverse* a number by multiplying it by 2. In other
words,there is no number of the form abcd, for example, such that abcd x 2 =
dcba.That holds true for all numbers, not just four-digit ones.
However,there is a three-digit number abc in base 8 such that abc x 2 = cba.
Can you find that number?

2) If,in a room with n people (n>=2), every person shakes hands once with
everyother person, prove that there are (n^(2)-n)/2 handshakes.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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