Re: [obm-l] Números complexos como matriz

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 17.03.04 22:11, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:

> Pessoal,
> 
> Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um
> número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da
> forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos
> números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em
> processos que transformam as características geométricas dos números
> complexos em algo simples.
> 
> Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de
> z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo?
> 
Esse eh um exemplo de isomorfismo, no caso entre dois corpos (conjuntos
munidos de duas operacoes sujeitas as mesmas regras que, digamos, o conjunto
dos racionais com adicao e multiplicacao).

Um isomorfismo entre os corpos A e B eh uma bijecao f: A -> B tal que f(x+y)
= f(x)+f(y) e f(xy) = f(x)f(y) para quaisquer x, y em A.

No seu caso, A = corpo dos complexos, munido das duas operacoes usuais -
adicao e multiplicacao) e B = corpo das matrizes reais 2x2 da forma descrita
acima, munido das operacoes de adicao e multiplicacao de matrizes.

Por exemplo, o polinomio caracteristico da matriz:
a  -b
b   a
eh p(x) = x^2 - 2ax + a^2 + b^2.
Uma das raizes eh justamente a + bi.

A existencia desse isomorfismo diz que, para todos os efeitos, pelo menos
quanto ao comportamento algebrico dos seus elementos, A e B sao "o mesmo"
corpo.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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