Re: [obm-l] En: Putnam Question (dicas de material sobre Transformaçoes)

Ola Cohen!!!A sua nota de aula da VO ficou otima,hein???Alias ce tem uma boa dica de livro ou algo assim sobre essas transformaçoes afins e lineares em geometria, que eu ache por exemplo aqui na USP?

"Marcio Afonso A. Cohen" <marciocohen@superig.com.br> wrote:

Em geral esse tipo de questão pede por uma resposta que envolva apenas
os dados do enunciado.. Quando se deseja que a resposta fique em função de
BC por exemplo, é comum dizer algo como "Considere BC = a"..
Num outro email foi discutida a opcao de se usar trigonometria em
problemas de geometria. A sugestao de se usar trigonometria, bem como
vetores, numeros complexos e qualquer outra arma eh, no meu ver, excelente.
Esse eh um otimo caso para se usar vetores.. Eu escrevi essa solucao com
o auxilio de papel e caneta para calcular os 3 determinantes, e portanto
sugiro que qualquer um que tente acompanha-la nos detalhes faca o mesmo:

Inicialmente note que nao ha perda de generalidade em supor A = (0,0), B
= (1,0), C=(0,1) e depois dividir a resposta por 1/2 (*).
Seja pois F = (0,t) um pto do lado AC, e G=(k,0) um do lado AB.
Do enunciado, R eh medio de BF => R = (1/2, t/2) e portanto como E eh a
intersecao da reta AR:y=tx com BC: x+y=1 temos E = (1/(t+1) , t/(t+1) ).
S eh medio de CG, logo S = (k/2, 1/2) e como B,S,F estao alinhados, o
determinante nos da 2t=kt+1 (i).
O ponto medio de AE eh T = ( 1/[2(t+1)], t/[2(t+1)] ), e como C,T,G
estao alinhados, o det nos da: 2k=1-kt (ii).
De (i) + (ii), t+k = 1 e substituindo em (i), t^2+t-1=0 (iii), donde
como 0 O dobro da area do triangulo RST eh dada (calculando o det com R,S,T)
por:
t*(1-kt) / [4*(t+1)] que eh igual a t*(1-t)/[2*(t+1)] por (i).
Multiplicando em cima e em baixo por 1-t e usando (iii), vem Resp =
[t(1-t)^2] / [2*(1-t^2)] = (1-t)^2 / 2 = t^4/2.
Usando (iv), concluimos portanto que a area pedida vale [7-3sqrt(5)]/4.

(*) Dado um triangulo qualquer, tome um transformacao afim (T(v)= A*v+B, com
det(A)!=0) que leve ele no meu triangulo ABC. Não é difícil ver que esse
tipo de transformacao preserva incidência, razão entre segmentos paralelos e
razão entre áreas, de forma que eh suficiente resolver o caso acima
exposto).

Marcio.

----- Original Message -----
From: "Rafael"
To:
Sent: Sunday, March 14, 2004 4:11 PM
Subject: Re: [obm-l] En: Putnam Question

> Pelo visto, hoje alguém estava (des)inspirado para comentar as
mensagens...
>
> Perdoe-me, em que trecho do enunciado diz-se que há valor numérico para a
> resposta? Vou ajudá-lo, eis o enunciado:
>
> "Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and G,lie respectively on sides
BC
> , CA, and AB, such that AE bisects BF at point R, BF bisects CG at point
S,
> and CG bisects AE at point T, Find the area of triangle RST."
>
> Concordo que a área de ABC é dada, mas a questão não *pede* um valor
> numérico para o triângulo RST, isso não está escrito em qualquer lugar. A
> menos que, além de dizer que o exercício está resolvido errado, você possa
> resolver corretamente, com ou sem valores numéricos....

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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