| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Wed, 10 Mar 2004 17:26:35 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] Estat: Provar que variavel aleatoria tem distribu ição geometrica |
> Me deparei com o seguinte problema:
>
> "Seja X uma variavel aleatoria assumindo valores no conjunto {1,2,3,...}
> e tendo a seguinte propriedade ("falta de memoria")
> P[X = s + t | X > t] = P[X = s] para s,t pertencente a {1,2,3,...}.
> Mostre que X é uma geometrica de parametro p , 0<= p <= 1."
>
Pra simplificar, vou escrever Pt para P(X = t).
X é tal que P(X = s + t | X > t) = P(X = s).
Fazendo t = 1, teremos:
P(X = s + 1 | X > 1) = Ps ==>
P(X = s + 1 e X > 1)/P(X > 1) = Ps ==>
P(X = s + 1)/P(X > 1) = Ps.
Levando em conta que P(X > 1) = 1 - P(X = 1) = 1 - P1, teremos:
P_(s+1)/(1 - P1) = Ps ==>
P_(s+1) = Ps*(1 - P1)
Essa recorrencia resolve o problema, pois implica que:
P2 = P1*(1 - P1),
P3 = P2*(1 - P1) = P1*(1 - P1)^2,
P4 = P3*(1 - P1) = P1*(1 - P1)^3,
...
Pk = P1*(1 - P1)^(k-1)
...
Ou seja, para todo k >= 1, P(X = k) = P1*(1 - P1)^k ==>
X tem distribuição geométrica.
[]´s,
Claudio.