Re: [obm-l] AB - BA = I

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Um problema um pouco mais dificil eh o seguinte:

Seja M uma matriz n x n tal que tr(M) = 0.
Prove que existem matrizes n x n A e B tais que M = AB - BA.

Acho que dah ateh pra impor algumas restricoes a A e B, mas comecemos com o
problema irrestrito.

[]'s,
Claudio.

on 09.03.04 01:09, Artur Costa Steiner at artur@opendf.com.br wrote:

> De fato, se AB - BA = I, entao tr(AB) = tr(BA + I) = tr(BA) + n, onde n>0 eh
> a ordem das matrizes. Logo, tr(AB) = tr(AB) + n, e, portanto, n=0, o que nao
> eh possivel.
> Eu acho que eu vi esta questao numa prova de Algebra Linear na faculdade. O
> professor deu a sugestao de considerar que tr(AB) = tr(BA) - e com isto
> praticamente resolveu a questao para os alunos que tinham um minimo de
> conhecimento.
> Artur
> 
>> 
>> Oi, pessoal;
>> 
>> Numa prova do IME dos anos 80, caiu uma questao que pedia pra provar que
>> nao
>> existem matrizes quadradas A e B tais que AB - BA = I (I = matriz
>> identidade).
>> 
>> A unica demonstracao que eu conheco usa o fato (facil de se provar - apenas
>> use a definicao de produto e algumas manipulacoes algebricas simples) de
>> que
>> tr(AB) = tr(BA), onde tr(X) = traço da matriz X (veja mensagem do Domingos
>> para a definicao de traço).
>> 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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