RE: [obm-l] AB - BA = I

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

De fato, se AB - BA = I, entao tr(AB) = tr(BA + I) = tr(BA) + n, onde n>0 eh
a ordem das matrizes. Logo, tr(AB) = tr(AB) + n, e, portanto, n=0, o que nao
eh possivel.
Eu acho que eu vi esta questao numa prova de Algebra Linear na faculdade. O
professor deu a sugestao de considerar que tr(AB) = tr(BA) - e com isto
praticamente resolveu a questao para os alunos que tinham um minimo de
conhecimento.
Artur
 
>
>Oi, pessoal;
>
>Numa prova do IME dos anos 80, caiu uma questao que pedia pra provar que
>nao
>existem matrizes quadradas A e B tais que AB - BA = I (I = matriz
>identidade).
>
>A unica demonstracao que eu conheco usa o fato (facil de se provar - apenas
>use a definicao de produto e algumas manipulacoes algebricas simples) de
>que
>tr(AB) = tr(BA), onde tr(X) = traço da matriz X (veja mensagem do Domingos
>para a definicao de traço).
>
>***
>
>Como eh sabido, uma matriz quadrada n x n representa um operador linear num
>espaco vetorial de dimensao n (veja um livro de algebra linear para as
>definicoes de todos esses termos).
>
>Isso quer dizer que o resultado acima prova que, num espaco vetorial de
>dimensao finita, nao existem operadores lineares T e U tais que TU - UT =
>I,
>onde o produto TU significa composicao de operadores (ou seja TU(v) =
>T(U(v)) para todo vetor v no espaco vetorial) e I = operador identidade (Iv
>= v para todo v no espaco vetorial).
>
>No entanto, se o espaco tiver dimensao infinita, entao eh possivel que
>existam operadores T e U tais que TU - UT = I.
>
>Por exemplo, considere o espaco vetorial dos polinomios com coeficientes
>reais e os operadores lineares T e U, tais que:
>T(f(x)) = f'(x) (operador derivacao)
>e
>U(f(x)) = x*f(x)
>
>Entao:
>TU(f(x)) = T(U(f(x)) = T(x*f(x)) = f(x) + x*f'(x)
>e
>UT(f(x)) = U(T(f(x)) = U(f'(x)) = x*f'(x)  ==>
>
>(UT - TU)(f(x)) = UT(f(x)) - TU(f(x)) = f(x) + x*f'(x) - x*f'(x) = f(x),
>ou seja: TU - UT = I.
>
>***
>
>Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita
>eh
>a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I
>
>Em outras palavras, se T tem um inverso a esquerda U (ou seja, um operador
>U
>tal que UT = I), entao U eh tambem um inverso a direita de U (TU = I).
>Nesse
>caso, o U eh unico e podemos dizer que U eh o inverso de T, o qual eh
>denotado por T^(-1).
>
>Problema: De um exemplo de um espaco vetorial de dimensao infinita e de um
>operador linear T neste espaco tal que T tem uma infinidade de inversos a
>esquerda mas nao tem nenhum inverso a direita.
>
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================