[obm-l] AB - BA = I

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, pessoal;

Numa prova do IME dos anos 80, caiu uma questao que pedia pra provar que nao
existem matrizes quadradas A e B tais que AB - BA = I (I = matriz
identidade).

A unica demonstracao que eu conheco usa o fato (facil de se provar - apenas
use a definicao de produto e algumas manipulacoes algebricas simples) de que
tr(AB) = tr(BA), onde tr(X) = traço da matriz X (veja mensagem do Domingos
para a definicao de traço).

***

Como eh sabido, uma matriz quadrada n x n representa um operador linear num
espaco vetorial de dimensao n (veja um livro de algebra linear para as
definicoes de todos esses termos).

Isso quer dizer que o resultado acima prova que, num espaco vetorial de
dimensao finita, nao existem operadores lineares T e U tais que TU - UT = I,
onde o produto TU significa composicao de operadores (ou seja TU(v) =
T(U(v)) para todo vetor v no espaco vetorial) e I = operador identidade (Iv
= v para todo v no espaco vetorial).

No entanto, se o espaco tiver dimensao infinita, entao eh possivel que
existam operadores T e U tais que TU - UT = I.

Por exemplo, considere o espaco vetorial dos polinomios com coeficientes
reais e os operadores lineares T e U, tais que:
T(f(x)) = f'(x) (operador derivacao)
e
U(f(x)) = x*f(x)  

Entao: 
TU(f(x)) = T(U(f(x)) = T(x*f(x)) = f(x) + x*f'(x)
e
UT(f(x)) = U(T(f(x)) = U(f'(x)) = x*f'(x)  ==>

(UT - TU)(f(x)) = UT(f(x)) - TU(f(x)) = f(x) + x*f'(x) - x*f'(x) = f(x),
ou seja: TU - UT = I.

***

Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh
a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I

Em outras palavras, se T tem um inverso a esquerda U (ou seja, um operador U
tal que UT = I), entao U eh tambem um inverso a direita de U (TU = I). Nesse
caso, o U eh unico e podemos dizer que U eh o inverso de T, o qual eh
denotado por T^(-1).

Problema: De um exemplo de um espaco vetorial de dimensao infinita e de um
operador linear T neste espaco tal que T tem uma infinidade de inversos a
esquerda mas nao tem nenhum inverso a direita.
 
 
Um abraco,
Claudio.




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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