Re: [obm-l] AB - BA = I

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Voce tem alguma dica para este problema?
Artur

--- Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
wrote:
> Um problema um pouco mais dificil eh o seguinte:
> 
> Seja M uma matriz n x n tal que tr(M) = 0.
> Prove que existem matrizes n x n A e B tais que M =
> AB - BA.
> 
> Acho que dah ateh pra impor algumas restricoes a A e
> B, mas comecemos com o
> problema irrestrito.
> 
> []'s,
> Claudio.
> 
> on 09.03.04 01:09, Artur Costa Steiner at
> artur@opendf.com.br wrote:
> 
> > De fato, se AB - BA = I, entao tr(AB) = tr(BA + I)
> = tr(BA) + n, onde n>0 eh
> > a ordem das matrizes. Logo, tr(AB) = tr(AB) + n,
> e, portanto, n=0, o que nao
> > eh possivel.
> > Eu acho que eu vi esta questao numa prova de
> Algebra Linear na faculdade. O
> > professor deu a sugestao de considerar que tr(AB)
> = tr(BA) - e com isto
> > praticamente resolveu a questao para os alunos que
> tinham um minimo de
> > conhecimento.
> > Artur
> > 
> >> 
> >> Oi, pessoal;
> >> 
> >> Numa prova do IME dos anos 80, caiu uma questao
> que pedia pra provar que
> >> nao
> >> existem matrizes quadradas A e B tais que AB - BA
> = I (I = matriz
> >> identidade).
> >> 
> >> A unica demonstracao que eu conheco usa o fato
> (facil de se provar - apenas
> >> use a definicao de produto e algumas manipulacoes
> algebricas simples) de
> >> que
> >> tr(AB) = tr(BA), onde tr(X) = traço da matriz X
> (veja mensagem do Domingos
> >> para a definicao de traço).
> >> 
> 
> 
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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