Re: [obm-l] Identidades de mdc

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 06.03.04 22:56, Rafael at cyberhelp@bol.com.br wrote:

> Cláudio,
> 
> Talvez eu esteja errado, mas não seria mais adequado dizer "Logo, a única
> possibilidade é que o expoente de p no mdc seja igual ao *maior* expoente de
> p *comum* a cada um dos inteiros.", em vez de "Logo, a unica possibilidade
> eh que o expoente de p no mdc seja igual ao *menor* expoente de p *presente*
> em cada um dos inteiros."?
> 
Talvez o melhor seja falar no "maior expoente de p que eh menor ou igual que
o expoente de p em cada um dos inteiros".

> Por exemplo:
> 
> 9 = 3^2
> 27 = 3^3
> 81 = 3^4
> 
> Pelo que eu entendo do seu enunciado, o fator de *menor* expoente *presente*
> em cada um dos inteiros é 3^1. Se dissermos o fator de *maior* expoente
> *comum* a cada um dos inteiros, creio que se interprete 3^2. E isso faz
> sentido, pois mdc é o *máximo* divisor *comum*.
> 
> Eu entendi a sua idéia, e provavelmente esta observação seja desnecessária.
> Só a faço por ter lido o seu texto, e saber o quanto você gosta que as
> pessoas leiam com atenção, deixando até dicas gastronômicas pelo meio do
> caminho... ;-)
> 
> 
> Abraços,
> 
> Rafael de A. Sampaio
> 
> 
> 
> 
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Saturday, March 06, 2004 4:08 PM
> Subject: Re: [obm-l] Identidades de mdc
> 
> 
> on 06.03.04 16:33, Thor at thor-oliveira@bol.com.br wrote:
> 
> O mdc de um conjunto de inteiros divide cada um deles e eh o maior inteiro
> positivo que o faz.
> 
> Seja p um fator primo do mdc.
> 
> Se o expoente de p no mdc for maior do que o expoente de p em algum dos
> inteiros, o mdc nao vai dividir este inteiro exatamente, o que contradiz a
> definicao de mdc.
> 
> Por outro lado, se o expoente de p no mdc for estritamente menor do que o
> menor expoente de p em cada um dos inteiros, nos poderemos multiplicar o mdc
> por p e ele ainda irah dividir cada um dos inteiros. Logo, o mdc original
> nao era o maior divisor comum dos inteiros (pois mdc*p > mdc), o que tambem
> eh uma contradicao.
> 
> Logo, a unica possibilidade eh que o expoente de p no mdc seja igual ao
> menor expoente de p presente em cada um dos inteiros.
> 
> Fazendo o mesmo raciocinio para cada fator primo presente em pelo menos um
> dos inteiros, voce chega a conclusao de que mdc = produto dos fatores primos
> comuns elevados aos menores expoentes.
> 
> Ficou claro?
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> 


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