Re: [obm-l] Identidades de mdc

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 06.03.04 16:33, Thor at thor-oliveira@bol.com.br wrote:

> 
> Já que estamos falando em mdc, porque quando a gente fatora em primos, o mdc
> sempre vai ser o produto dos fatores comuns de menores expoentes?como
> demostrar isso?

O mdc de um conjunto de inteiros divide cada um deles e eh o maior inteiro
positivo que o faz.

Seja p um fator primo do mdc.

Se o expoente de p no mdc for maior do que o expoente de p em algum dos
inteiros, o mdc nao vai dividir este inteiro exatamente, o que contradiz a
definicao de mdc.

Por outro lado, se o expoente de p no mdc for estritamente menor do que o
menor expoente de p em cada um dos inteiros, nos poderemos multiplicar o mdc
por p e ele ainda irah dividir cada um dos inteiros. Logo, o mdc original
nao era o maior divisor comum dos inteiros (pois mdc*p > mdc), o que tambem
eh uma contradicao.

Logo, a unica possibilidade eh que o expoente de p no mdc seja igual ao
menor expoente de p presente em cada um dos inteiros.

Fazendo o mesmo raciocinio para cada fator primo presente em pelo menos um
dos inteiros, voce chega a conclusao de que mdc = produto dos fatores primos
comuns elevados aos menores expoentes.

Ficou claro?

Um abraco,
Claudio. 


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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