Re: [obm-l] A^2 = I na obm-u de 2003

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Mar 06, 2004 at 04:00:13PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Oi, Nicolau:
> 
> Na sua solucao do problema de se determinar o numero de matrizes A de
> GL(4,p) com A^2 = I, voce usou o fato de que (Z_p)^4 pode ser decomposto
> numa soma direta U + V com U = {u | Au = u} e V = {v | Av = -v}.
> 
> Seguindo nessa linha, eu pensei no seguinte:
> 
> Em virtude dessa decomposicao, cada A serah semelhante (conjugada) a
> exatamente uma dentre cinco matrizes diagonais, cada uma com k = 0, 1, 2, 3
> ou 4 elementos iguais a 1 e os demais -1 (ou, mais precisamente, p-1).
> 
> As matrizes serao:
> k = 0: diag(-1,-1,-1,1) = -I
> k = 1: diag(-1,-1,-1,1)
> k = 2: diag(-1,-1,1,1)
> k = 3: diag(-1,1,1,1)
> k = 4: diag(1,1,1,1) = I.
> 
> Agora, minha ideia eh calcular o numero de elementos nas classes de
> conjugacao de cada uma dessas matrizes.
...
> Ta certo isso?

Eu não verifiquei as contas, mas sim, a idéia geral está certa.
Este é basicamente o processo para resolver problemas mais gerais
do que o da OBM. O enunciado e solução foram escolhidos por serem
mais elementares: você usou teoria de grupos e a minha solução não.

Aliás este problema usa de novo aquele fato: se a matriz A satisfaz
p(A) = 0 onde p só tem raízes simples então A é diagonalizável
(em um corpo que contenha as raízes de p).

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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