Re: [obm-l] Particao do Quadrado

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Mar 06, 2004 at 12:31:00PM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Um exemplo interessante de conjunto conexo que eu vi foi o seguinte:
> 
> Sejam:
> A = { (0,y) | -1 <= y <= 1 } = intervalo [-1,1] no eixo y
> e
> B = { (x,sen(1/x)) | 0 < x <= 1} = grafico da funcao sen(1/x) restrita ao
> intervalo (0,1].
> 
> Entao A uniao B eh conexo (apesar de A e B nao se "tocarem", ou seja A uniao
> B nao eh conexo por caminhos)
> 
> Qualquer aberto contendo A vai ter que conter algum ponto (x,y) com x > 0 e
> -1 <= y <= 1. Logo, vai intersectar o grafico de sen(1/x) em algum ponto
> perto do eixo y.
> 
> Por outro lado, tente achar uma curva continua (nao precisa nem ser
> poligonal) que liga algum ponto de A a um ponto de B...
> 
> ****
> 
> Esse exemplo pode ser adaptado para se construir um exemplo de conjuntos
> conexos A e B tais que A e B sao disjuntos, A contem pontos e dois lados
> opostos de um quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes.

Você tem razão, o exemplo é bem mais simples do que eu pensava, veja a figura.
Pinte os lados do quadrado alternadamente de verde e vermelho. Desenhe dentro
do quadrado uma espiral verde e outra vermelha: não é importante exatamente
qual formato elas têm, o importante é que elas sejam disjuntas e se aproximem
arbitrariamente do bordo do quadrado. Tanto o conjunto verde quanto o vermelho
são conexos.

[]s, N.

conexo.png