Re: [obm-l] Particao do Quadrado

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 05.03.04 22:52, Nicolau C. Saldanha at nicolau@mat.puc-rio.br wrote:

> On Fri, Mar 05, 2004 at 07:09:05PM -0300, Henrique Patrício Sant'Anna Branco
> wrote:
>>> A sutileza é que A e B seriam conexos mas não são conexos por caminhos.
>>> Cada um deles parece uma nuvem de pontos e as componentes conexas
>>> por caminhos de A e B são pontos. As nuvens são conexas pq qualquer
>>> função contínua não constante g: R -> [0,1]^2 encontra tanto com A
>>> quanto com B então é impossível fazer uma cisão de A ou B.
>> 
>> Nicolau (ou quem souber responder),
>> 
>> Sei o que é um conjunto conexo por caminhos, mas não sei o que seria um
>> conjunto (apenas) conexo.
>> A (união) B, no caso, conteria dois pontos que não pudessem ser ligados por
>> poligonais? Isso seria um conjunto conexo?
> 
> Um conjunto A contido em R^2 é conexo se *não* existirem abertos
> disjuntos X1 e X2 em R^2 tais que A está contido em X1 U X2
> mas A não está contido nem em X1 nem em X2.
> 
> []s, N.
> 
Um exemplo interessante de conjunto conexo que eu vi foi o seguinte:

Sejam:
A = { (0,y) | -1 <= y <= 1 } = intervalo [-1,1] no eixo y
e
B = { (x,sen(1/x)) | 0 < x <= 1} = grafico da funcao sen(1/x) restrita ao
intervalo (0,1].

Entao A uniao B eh conexo (apesar de A e B nao se "tocarem", ou seja A uniao
B nao eh conexo por caminhos)

Qualquer aberto contendo A vai ter que conter algum ponto (x,y) com x > 0 e
-1 <= y <= 1. Logo, vai intersectar o grafico de sen(1/x) em algum ponto
perto do eixo y.

Por outro lado, tente achar uma curva continua (nao precisa nem ser
poligonal) que liga algum ponto de A a um ponto de B...

****

Esse exemplo pode ser adaptado para se construir um exemplo de conjuntos
conexos A e B tais que A e B sao disjuntos, A contem pontos e dois lados
opostos de um quadrado e B contem pontos dos dois lados restantes.

Um abraco,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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